Use o Teste da Comparação por Limites para determinar se as seguintes séries são convergentes ou não. (a) ∑+∞ n=1 4/(3n+1) (b) ∑+∞ n=1 3√(n^3+n) ...

Vamos analisar cada série utilizando o Teste da Comparação por Limites: (a) ∑+∞ n=1 4/(3n+1) Vamos comparar com a série harmônica ∑+∞ n=1 1/n. Dividindo ambos os termos por n, temos 4/(3n+1) / (1/n) = 4n/(3n+1). Tomando o limite quando n tende ao infinito, temos lim n→∞ 4n/(3n+1) = 4/3. Como a série harmônica ∑+∞ n=1 1/n é divergente, e 4/3 é um valor finito, podemos concluir que a série original também é divergente. (b) ∑+∞ n=1 3√(n^3+n) Vamos comparar com a série harmônica ∑+∞ n=1 1/n^(2/3). Dividindo ambos os termos por n^(2/3), temos 3√(n^3+n) / (1/n^(2/3)) = 3√(n^3+n) * n^(2/3). Tomando o limite quando n tende ao infinito, temos lim n→∞ 3√(n^3+n) * n^(2/3) = lim n→∞ 3√(n^5+n^4) = ∞. Como a série harmônica ∑+∞ n=1 1/n^(2/3) é convergente, e o limite é infinito, podemos concluir que a série original também é convergente. Portanto, a série (a) é divergente e a série (b) é convergente.