Lista_2___C_lculo_III

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Cálculo III - EB301 A
Lista 2
Testes de Convergência de Séries
Profa Elaine Cristina Catapani Poletti
Monitor Aluízio Augusto Rocha Pires
Teste da Integral
Definição: Seja f uma função contínua, positiva e decrescente em [1,∞) e seja an = f(n).
Então, a série
∑+∞
n=1 an é convergente se, e somente se,
∫∞
1 f(x)dx for convergente.
1. Use o Teste da Integral para determinar se as seguintes séries são convergentes ou não.
(a)
∑+∞
n=2
1
n
√
lnn
(b)
∑+∞
n=2
n
n2−2
(c)
∑+∞
n=1
1
(n+2)
3
2
(d)
∑+∞
n=1 e
−5n
(e)
∑+∞
n=1
2n
n4+1
Teste da Comparação
Definição: Seja
∑+∞
n=1 Un uma série de termos positivos.
a) Se
∑+∞
n=1 Vn for uma série de termos positivos que sabemos ser convergentes e se
Un ≤ Vn para todo n inteiro positivo, então
∑+∞
n=1 Un será convergente.
b)Se
∑+∞
n=1 Vn for uma série de termos positivos que sabemos ser divergentes e se Un ≥
Vn para todo n inteiro positivo, então
∑+∞
n=1 Un será divergente.
2. Use o Teste da Comparação para determinar se as seguintes séries são convergentes ou não.
(a)
∑+∞
n=1
4
3n+1
(b)
∑+∞
n=1
1√
n
1
(c)
∑+∞
n=1
1
nn
(d)
∑+∞
n=1
cos nπ
3
n2
(e)
∑+∞
n=2
1
n
√
n2−1
Teste da Comparação com Limite
Definição: Sejam
∑+∞
n=1 Un e
∑+∞
n=1 Vn duas séries de termos positivos.
a) Se lim
n→+∞
Un
Vn
= c > 0, então ambas as séries convergem, ou ambas divergem.
b) Se lim
n→+∞
Un
Vn
= 0 e se
∑+∞
n=1 Vn converge, então
∑+∞
n=1 Un converge.
c) Se lim
n→+∞
Un
Vn
= +∞ e se
∑+∞
n=1 Vn diverge, então
∑+∞
n=1 Un diverge.
3. Use o Teste da Comparação por Limites para determinar se as seguintes séries são convergentes ou
não.
(a)
∑+∞
n=1
4
3n+1
(b)
∑+∞
n=1
3√
n3+n
(c)
∑+∞
n=1
(n−1)!
(n+1)!
(d)
∑+∞
n=1
lnn
n2+2
(e)
∑+∞
n=1
1
(n+2)(n+4)
Teste da Razão
Definição: Seja
∑+∞
n=1 Un uma série infinita dada para a qual todo Un é não-nulo. Então,
a) se lim
n→+∞
|Un+1Un | = L < 1, a série dada é absolutamente convergente;
b) se lim
n→+∞
|Un+1Un | = L > 1 ou se limn→+∞ |
Un+1
Un
| = +∞, a série dada é divergente;
c) se lim
n→+∞
|Un+1Un | = 1, nenhuma conclusão pode ser tirada do teste.
Observação: Dizemos que a série infinita
∑+∞
n=1 Un será absolutamente convergente
se a série
∑+∞
n=1 |Un| for convergente.
Uma série que é convergente, mas não absolutamente convergente é chamada de
condicionalmente convergente.
Se a série infinita
∑+∞
n=1 Un for absolutamente convergente, ela deverá ser conver-
gente e |
∑+∞
n=1 Un| ≤
∑+∞
n=1 |Un|
2
4. Use o Teste da Razão para determinar se as seguintes séries são absolutamente convergentes, con-
dicionalmente convergentes ou divergentes.
(a)
∑+∞
n=1(−1)n+1
n
2n
(b)
∑+∞
n=1 (−
2
3)
n
(c)
∑+∞
n=1
n2
n!
(d)
∑+∞
n=1(−1)n+1
1
n(n+2)
(e)
∑+∞
n=1
sinπn
n
Teste da Raiz
Definição: Seja
∑+∞
n=1 Un uma série infinita dada para a qual Un é diferente de zero.
Então,
a) se lim
n→+∞
n
√
|Un| = L < 1, a série dada é absolutamente convergente;
b) se lim
n→+∞
n
√
|Un| = L > 1 ou se lim
n→+∞
n
√
|Un| = +∞, a série dada é divergente;
c) se lim
n→+∞
n
√
|Un| = 1, nenhuma conclusão pode ser tirada do teste.
5. Use o Teste da Raiz para determinar se as seguintes séries são absolutamente convergentes, condi-
cionalmente convergentes ou divergentes.
(a)
∑+∞
n=1(−1)n
32n+1
n2n
(b)
∑+∞
n=1(−1)n
n2+1
n3
(c)
∑+∞
n=2
1
(lnn)n
(d)
∑+∞
n=1 n(
2
3)
n
(e)
∑+∞
n=1
(1+ 1
n
)2n
en
Teste da Série Alternada
Definição: Considere a série alternada
∑+∞
n=1(−1)n+1an ou [
∑+∞
n=1(−1)nan], onde
an > 0 e an+1 < an para todo n inteiro positivo. Se lim
n→+∞
an = 0, a série alter-
nada converge.
6. Use o Teste da Série Alternada para determinar se as seguintes séries são convergentes ou não.
(a)
∑+∞
n=1(−1)n+1
1
2n
3
(b)
∑+∞
n=1(−1)n
1
n2
(c)
∑+∞
n=1(−1)n+1
n2
n3+2
(d)
∑+∞
n=1(−1)n+1
lnn
n
(e)
∑+∞
n=1(−1)n
en
n
7. Agora, utilize os testes anteriores para determinar a convergência das seguintes séries:
(a)
∑+∞
n=1
n!
10n
(b)
∑+∞
n=1(−1)n ln
1
n
(c)
∑+∞
n=1(−1)n−1
6n
5n+1
(d)
∑+∞
n=1(−1)n
√
2n−1
n
(e)
∑+∞
n=1
lnn
n2
Referência: Leithold, Cálculo com Geometria Analítica, vol 2
4