Sejam X ⊂ Rn um subconjunto compacto (não vazio) e f : X → X uma aplicação tal que ‖f(x) − f(y)‖ < ‖x − y‖ sempre que x 6= y. Mostre que f possu...

Sim, é verdade que se X é um subconjunto compacto e não vazio de Rn, e f: X → X é uma aplicação tal que ‖f(x) − f(y)‖ < ‖x − y‖ sempre que x ≠ y, então f possui um único ponto fixo em X. Para provar isso, podemos usar o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. Esse teorema afirma que toda aplicação contínua de um conjunto compacto em si mesmo possui pelo menos um ponto fixo. No caso em questão, temos que f é uma aplicação contínua de X em X, e X é um conjunto compacto. Além disso, a condição ‖f(x) − f(y)‖ < ‖x − y‖ para x ≠ y implica que f é uma aplicação estritamente contraída. Portanto, pelo Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, f possui um único ponto fixo em X. Quanto à segunda parte da pergunta, se trocarmos a desigualdade "<" por "≤", não podemos afirmar que f possui um ponto fixo. A condição ‖f(x) − f(y)‖ ≤ ‖x − y‖ para x ≠ y permite que f seja uma aplicação contrativa ou uma aplicação constante, por exemplo. Nesses casos, f pode não ter um ponto fixo.