Sejam X ⊂ Rn um subconjunto compacto e f : X → X uma aplicação cont́ınua e tal que ‖f(x)− f(y)‖ > ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ X. Mostre que f é...

Para mostrar que a função f é sobrejetora, precisamos demonstrar que ela é uma função sobrejetora, ou seja, que ela mapeia todo elemento do conjunto X para algum elemento do conjunto X. Dado que f é uma aplicação contínua e que ‖f(x)− f(y)‖ > ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ X, podemos utilizar o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer para provar que f é sobrejetora. O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer estabelece que toda aplicação contínua de um conjunto compacto para si mesmo possui pelo menos um ponto fixo, ou seja, um ponto x ∈ X tal que f(x) = x. Suponha, por contradição, que f não seja sobrejetora. Isso significa que existe um elemento y ∈ X que não é mapeado por f, ou seja, não existe x ∈ X tal que f(x) = y. Agora, considere a função auxiliar g: X → R definida por g(x) = ‖f(x)− y‖. Essa função é contínua, pois é a composição de funções contínuas (f e a função norma ‖.‖). Além disso, temos que g(x) > 0 para todo x ∈ X, pois ‖f(x)− y‖ > 0. Como X é um conjunto compacto e g é uma função contínua, pelo Teorema do Valor Extremo, g alcança seu valor mínimo em algum ponto x0 ∈ X. Ou seja, existe x0 ∈ X tal que g(x0) ≤ g(x) para todo x ∈ X. No entanto, temos que g(x0) > 0, pois g(x) > 0 para todo x ∈ X. Portanto, temos uma contradição, pois encontramos um ponto x0 ∈ X onde g(x0) é mínimo, mas g(x0) > 0. Assim, concluímos que nossa suposição inicial estava errada e, portanto, f é uma função sobrejetora. Portanto, a função f é sobrejetora, como queríamos demonstrar.