Sejam X,Y ⊂ Rn subconjuntos não vazios. A distância entre X e Y é definida por d(X,Y ) = inf{‖x− y‖ : x ∈ X, y ∈ Y }. Mostre que: se X é compac...

Para mostrar que se X é compacto e Y é fechado, então existem x0 ∈ X e y0 ∈ Y tais que d(X,Y) = ‖x0 − y0‖, podemos utilizar o Teorema da Existência do Infimum. Primeiro, vamos considerar a função f: X × Y → R definida por f(x, y) = ‖x - y‖, onde X × Y é o produto cartesiano de X e Y. Agora, vamos mostrar que f é contínua. Para isso, podemos utilizar a desigualdade triangular: ‖x - y‖ ≤ ‖x - x0‖ + ‖x0 - y0‖ + ‖y0 - y‖ Dado ε > 0, podemos escolher δ = ε/3. Se ‖(x, y) - (x0, y0)‖ < δ, então temos: ‖x - x0‖ < δ ‖y - y0‖ < δ Substituindo essas desigualdades na desigualdade triangular, obtemos: ‖x - y‖ ≤ ‖x - x0‖ + ‖x0 - y0‖ + ‖y0 - y‖ < δ + ‖x0 - y0‖ + δ < ε/3 + ‖x0 - y0‖ + ε/3 + ε/3 = ε Portanto, f é contínua. Agora, como X é compacto e Y é fechado, sabemos que X × Y é compacto, pois o produto de dois conjuntos compactos é compacto. Além disso, f é contínua em X × Y. Pelo Teorema do Valor Extremo, sabemos que f atinge seu mínimo em X × Y. Ou seja, existe (x0, y0) ∈ X × Y tal que f(x0, y0) = ‖x0 - y0‖ é o mínimo de f. Portanto, temos x0 ∈ X e y0 ∈ Y tais que d(X, Y) = ‖x0 - y0‖, como queríamos demonstrar. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.