Seja K ⊂ Rn. Prove que se toda função cont́ınua em K é limitada, então K é compacto.

Para provar que se toda função contínua em K é limitada, então K é compacto, podemos utilizar o Teorema de Heine-Borel. O Teorema de Heine-Borel estabelece que um conjunto K ⊂ Rn é compacto se, e somente se, ele for fechado e limitado. Primeiro, vamos mostrar que K é limitado. Se toda função contínua em K é limitada, isso significa que para qualquer função f contínua em K, existe um número M tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ K. Portanto, K é limitado. Agora, vamos mostrar que K é fechado. Para isso, vamos considerar uma sequência (xn) ⊂ K que converge para um ponto x ∈ Rn. Precisamos mostrar que x também pertence a K. Como K é limitado, podemos escolher um raio R > 0 que contenha todo o conjunto K. Como a sequência (xn) converge para x, existe um número natural N tal que para todo n ≥ N, temos que |xn - x| < R. Agora, vamos considerar a função f: K → R definida por f(y) = |y - x|. Essa função é contínua em K, pois é uma função de distância. Além disso, temos que f(xn) = |xn - x| < R para todo n ≥ N. Portanto, temos que f(xn) ≤ R para todo n, o que implica que f é limitada em K. Mas isso contradiz a hipótese de que toda função contínua em K é limitada. Assim, concluímos que K é fechado. Portanto, utilizando o Teorema de Heine-Borel, podemos afirmar que se toda função contínua em K é limitada, então K é compacto.