Sejam X ⊂ Rn um subconjunto compacto e f : X → X uma aplicação tal que ‖f(x)−f(y)‖ > ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ X. Mostre que f é um homeomorf...

Para mostrar que a aplicação f é um homeomorfismo, precisamos demonstrar que ela é contínua, bijetora e que sua inversa também é contínua. 1. Continuidade: Como X é um subconjunto compacto de Rn, sabemos que X é fechado e limitado. Além disso, a função f é definida em X e mapeia X em X. Para mostrar que f é contínua, podemos utilizar o critério de continuidade de Lipschitz. Dado que ‖f(x)−f(y)‖ > ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ X, podemos afirmar que f é uma função Lipschitz com constante de Lipschitz L = 1. Isso significa que para todo par de pontos x, y em X, temos: ‖f(x)−f(y)‖ ≤ L‖x− y‖ Portanto, f é uma função Lipschitz contínua em X, o que implica que f é contínua em X. 2. Bijetividade: Para mostrar que f é bijetora, precisamos demonstrar que f é injetora e sobrejetora. - Injetividade: Suponha que existam dois pontos distintos x, y em X, tais que f(x) = f(y). Isso implicaria que ‖f(x)−f(y)‖ = 0, o que contradiz a condição ‖f(x)−f(y)‖ > ‖x− y‖. Portanto, f é injetora. - Sobrejetividade: Para mostrar que f é sobrejetora, precisamos demonstrar que para todo ponto z em X, existe um ponto x em X tal que f(x) = z. No entanto, essa parte da demonstração não pode ser concluída com as informações fornecidas na pergunta. 3. Continuidade da inversa: Para mostrar que a inversa de f é contínua, precisamos demonstrar que f é um homeomorfismo. No entanto, essa parte da demonstração não pode ser concluída com as informações fornecidas na pergunta. Portanto, com as informações fornecidas, podemos concluir que f é uma função contínua e injetora em X. No entanto, não podemos afirmar com certeza se f é sobrejetora ou se sua inversa é contínua.