Prove que, dados uma reta r e um ponto ???? ∉ ???? a. existe um único plano contendo ???? e ????. b. todas as retas que passam por ???? e cortam ???? estão em ...

Para provar que, dados uma reta r e um ponto P ∉ r: a) Existe um único plano contendo r e P: Podemos utilizar o axioma da existência de um plano para afirmar que existe pelo menos um plano que contém a reta r e o ponto P. Agora, para provar que esse plano é único, podemos utilizar o axioma da unicidade de plano. Suponha que existam dois planos diferentes que contenham r e P. Seja Q um ponto pertencente a um desses planos, mas não ao outro. Como Q pertence ao plano, a reta PQ também pertence a esse plano. No entanto, a reta PQ também pertence à reta r, o que implica que PQ pertence aos dois planos. Isso contradiz o axioma da unicidade de plano, portanto, concluímos que existe um único plano contendo r e P. b) Todas as retas que passam por P e cortam r estão em um mesmo plano: Suponha que existam duas retas diferentes, s e t, que passam por P e cortam a reta r. Seja Q o ponto de interseção entre s e r, e seja R o ponto de interseção entre t e r. Agora, consideremos o plano que contém as retas s, t, r, P, Q e R. Nesse plano, temos que as retas s e t são distintas e passam por P, e também cortam a reta r. Portanto, todas as retas que passam por P e cortam r estão contidas nesse mesmo plano. Assim, provamos que existe um único plano contendo r e P, e que todas as retas que passam por P e cortam r estão em um mesmo plano.