Cálculo de Limites • Calcular os seguintes limites (1) lim x→−3 x3 + 27 x+ 3 (2) lim x→0 x2 + 7x x (3) lim x→1 x2 − 3x+ 2 x2 − 4x+ 3 (4)...

Claro! Vou ajudá-lo a calcular os limites que você mencionou: (1) lim x→−3 (x^3 + 27)/(x + 3) Para calcular esse limite, podemos simplificar a expressão fatorando o numerador como diferença de cubos: (x + 3)(x^2 - 3x + 9)/(x + 3) Cancelamos o fator comum (x + 3) e substituímos o valor de x = -3: (-3)^2 - 3(-3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 (2) lim x→0 (x^2 + 7x)/x Nesse caso, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por x: (x + 7)/1 Substituindo o valor de x = 0, obtemos: 0 + 7 = 7 (3) lim x→1 (x^2 - 3x + 2)/(x^2 - 4x + 3) Podemos fatorar o numerador e o denominador: (x - 1)(x - 2)/(x - 1)(x - 3) Cancelamos o fator comum (x - 1) e substituímos o valor de x = 1: 1 - 2 = -1 (4) lim x→4 (√(2x + 1) - 3√(x - 2))/√2 Nesse caso, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por √2: (√(2x + 1)/√2 - 3√(x - 2)/√2) Simplificando as raízes quadradas: (√(2x + 1)/√2 - √(3(x - 2))/√2) Substituindo o valor de x = 4: (√(2(4) + 1)/√2 - √(3(4 - 2))/√2) (√9/√2 - √6/√2) 3/√2 - √6/√2 Multiplicando o numerador e o denominador por √2 para racionalizar as raízes: (3√2 - √6)/2 (5) lim x→0 (3√(x^3 - x) + √(x^2 + x))/(5√(x^5 + 2x)) Nesse caso, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por √x: (3√(x^3 - x)/√x + √(x^2 + x)/√x)/(5√(x^5 + 2x)/√x) Simplificando as raízes quadradas: (3√(x^2 - 1) + √(x + 1))/(5√(x^4 + 2)) Substituindo o valor de x = 0: (3√(0^2 - 1) + √(0 + 1))/(5√(0^4 + 2)) (3√(-1) + √1)/(5√2) (-3i + 1)/(5√2) (6) lim x→1 (√(6x - 2) - 3)/(√(8x) - 2√(4x)) Nesse caso, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por √2: (√(3x - 1)/√2 - 3)/(√(4x)/√2 - 2) Simplificando as raízes quadradas: (√(3x - 1)/√2 - 3)/(√(2x) - 2) Substituindo o valor de x = 1: (√(3(1) - 1)/√2 - 3)/(√(2(1)) - 2) (√2/√2 - 3)/(√2 - 2) (1 - 3)/(√2 - 2) -2/(√2 - 2) (7) lim u→0 (1 + u)^(1/u) Esse limite é conhecido como limite exponencial e seu valor é igual a e, onde e é a base do logaritmo natural. (8) lim x→∞ (1 + α/x)^x Esse limite é conhecido como limite exponencial e seu valor é igual a e^α, onde e é a base do logaritmo natural. (9) Se não existem os limites lim x→a f(x) e lim x→a g(x), então não podemos afirmar se existem os limites lim x→a [f(x) + g(x)] ou lim x→a f(x)g(x). A existência desses limites depende das propriedades das funções f(x) e g(x). (10) Se existem os limites lim x→a f(x) e lim x→a [f(x) + g(x)], não podemos afirmar se existe o limite lim x→a g(x). A existência desse limite depende das propriedades da função g(x). (11) Se existe o limite lim x→a f(x) e não existe o limite lim x→a g(x), então não podemos afirmar se existe o limite lim x→a [f(x) + g(x)]. A existência desse limite depende das propriedades das funções f(x) e g(x). (12) Se existem os limites lim x→a f(x) e lim x→a f(x)g(x), não podemos concluir se existe o limite lim x→a g(x). A existência desse limite depende das propriedades da função g(x). (13) Um exemplo em que existe o limite lim x→0 f(x^2), mas não existe o limite lim x→0 f(x), pode ser a função f(x) = 1/x. Nesse caso, o limite lim x→0 f(x^2) é igual a 1, mas o limite lim x→0 f(x) não existe.