2015-2-Mat1-lista3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INISATITUTO DE MATEMÁTICA
Terceira lista de exercicios – Matemática I. 2015-2.
Cálculo de Limites
• Calcular os seguintes limites
(1) lim
x→−3
x3 + 27
x+ 3
(2) lim
x→0
x2 + 7x
x
(3) lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x2 − 4x+ 3 (4) limx→4
√
2x+ 1− 3√
x− 2−
√
2
(5) lim
x→0
3
√
x3 − x+
√
x2 + x
5
√
x5 + 2x
(6) lim
x→1
√
6x− 2− 3
√
8x
2−
√
4x
• Assuma que lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e. Logo, calcule os seguintes limites
(7) lim
u→0
(1 + u)1/u (8) lim
x→∞
(
1 +
α
x
)x
• Responda e justifique.
(9) Suponha que não existem os limites lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x). Podem existir os
limites lim
x→a
[f(x) + g(x)] ou lim
x→a
f(x)g(x)?
(10) Suponha que existem os limites lim
x→a
f(x) e lim
x→a
[f(x) + g(x)]. Deve existir o
limite lim
x→a
g(x)?
(11) Suponha que exista o limite lim
x→a
f(x) e que não exista o limite lim
x→a
g(x). Pode
existir o limite lim
x→a
[f(x) + g(x)]?
(12) Suponha que existam os limites lim
x→a
f(x) e lim
x→a
f(x)g(x). Podemos concluir
que existe o limite lim
x→a
g(x)?
(13) Mostre um exemplo no qual exista o limite lim
x→0
f(x2), mas não exista o limite
lim
x→0
f(x).
Limites Infinitos
• Calcular
(1) lim
x→±∞
√
(x+ 2)(x+ 5)− x (2) lim
x→±∞
√
x2 + 7x+ 10
x
(3) lim
x→0
|x| −
√
|x|
x2 + x
(4) lim
x→∞
√
x+
√
x+
√
x
√
x+ 1
1
Continuidade
• Defina (se existirem) os valores de f(0), de tal forma que as seguintes funções sejam
cont́ınuas em x = 0.
(1) f(x) =
4x2 − 2x
x
(2) f(x) =
√
4 + x− 2
x
• Responder as seguintes questões.
(3) Seja a função
f(x) =





sin x , x ≤ π
2
kπ + 3π , x >
π
2
.
Achar o valor de k de tal forma que f(x) seja cont́ınua em x0 =
π
2
.
(4) Calcule os valores de a e b de tal forma que a função f(x) seja cont́ınua no
intervalo (−5
2
,+∞), onde f(x) esta definida por
f(x) =

















tan(πx)
x+ 2
, −5
2
< x < −2
ax+ b , −2 ≤ x ≤ 0
2 sin x+ 3 sin2 x
x+ 2x4
, 0 < x.
(5) Para quais valores de a o polinômio p(x) = x4 − 3ax + 1 possui pelo menos
uma raiz real no intervelo [0, 1].
Respostas
Cálculo de Limites
(1)27. (2)7. (3)12. (4)2
√
2
3
. (5)0. (6)− 5
6
. (7)e. (8)eα.
Limites Infinitos
(1)L+ =
7
2
, L− = +∞. (2)L+ = 1 , L− = −1. (3)Não existe. (4)1.
Continuidade
(1)f(0) = −2. (2)f(0) = 1
4
. (3)k = (2−6π)
π
. (4)a = (2−π)
2
, b = 2. (5)a ≥ 2/3.
2