a_(2)x^(2)y^('')+a_(1)xy^(')+a_(0)y=f(x) é chamada de Equação de Cauchy-Euler de segunda ordem. A solução deste tipo de equação está ligada à subst...

Para resolver a equação de Cauchy-Euler de segunda ordem x^2y'' + 2xy' = 0, podemos fazer a substituição y(x) = x^k. Vamos calcular as derivadas de y(x) em relação a x: y'(x) = kx^(k-1) y''(x) = k(k-1)x^(k-2) Substituindo essas derivadas na equação original, temos: x^2(k(k-1)x^(k-2)) + 2x(kx^(k-1)) = 0 Simplificando a expressão, temos: k(k-1)x^k + 2kx^k = 0 Agora, podemos fatorar x^k em comum: x^k(k(k-1) + 2k) = 0 Simplificando ainda mais, temos: x^k(k^2 - k + 2k) = 0 x^k(k^2 + k) = 0 Agora, temos duas possibilidades: 1) x^k = 0 Nesse caso, a solução é y(x) = 0. 2) k^2 + k = 0 Podemos fatorar k em comum: k(k + 1) = 0 Portanto, temos duas soluções para k: k = 0 e k = -1 A solução geral da equação é dada pela combinação linear das soluções: y(x) = C1*x^0 + C2*x^(-1) y(x) = C1 + C2/x Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.