Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial (xy²+x)dx+x²ydy=0 - Equação diferencial ordinária exatas (EDO) - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial .xy² + x dx + x²ydy = 0( )
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata, temos que o formato gernérico da EDO é;
 
M x, y dx + N x, y dy = 0( ) ( )
 
Com isso : M x, y = xy² + x e N x, y = x²y( ) ( )
 
Para a EDO ser exata devemos ter =→
𝜕M x, y
𝜕y
( ) 𝜕N x, y
𝜕x
( )
 
Vamos, então, encontrar as derivadas parciais;
 
= 2xy e = 2xy , logo, = para a EDO em questão, 
𝜕M x, y
𝜕y
( ) 𝜕N x, y
𝜕x
( ) 𝜕M x, y
𝜕y
( ) 𝜕N x, y
𝜕x
( )
assim, temos uma EDO exata. Agora, podemos definir o deguinte sistema;
 
= M x, y = xy² + x
𝜕F
𝜕x
( )
= N x, y = x²y
𝜕F
𝜕y
( )
 
Vamos integrar pacialmente em x a primeira equação e chegar em F x, y ;( )
 
F x, y = xy² + x dx = + +∅ y( ) ∫( ) x y²
2
2 x
2
2
( )
 
Perceba que a constante resultante dessa integral está em função de y, com isso, devemos 
determiná - la para chegar a solução final da EDO, para isso, vamos derivar F x, y parcialmente( )
em relação a y;
 
= + 0 +∅' y = x y +∅' y
𝜕F x, y
𝜕y
( ) 2x y
2
2
( ) 2 ( )
 
 
 
A segunda condição dada pelo sistema acima foi : = N x, y = x²y
𝜕F
𝜕y
( )
 
Ou seja, = N x, y , com isso, temos a igualdade;
𝜕F x, y
𝜕y
( )
( )
 
x²y = x y +∅' y , isolando ∅' y , fica;2 ( ) ( )
 
x y +∅' y = x²y ∅' y = x²y - x²y ∅' y = 02 ( ) → ( ) → ( )
 
Como ∅' y = 0, ∅ y deve ser uma constante arbitrária, assim; ∅ y = c( ) ( ) ( ) 1
 
Como a EDO é exata, então, necessáriamente : F x, y = c( ) 2
 
encontramos que F x, y = + + c , logo :( )
x y²
2
2 x
2
2
1
 
+ + c = c = c - c x y² + x = 2 c - c
x y²
2
2 x
2
2
1 2 →
x y² + x
2
2 2
2 1 →
2 2 ( 2 1)
 
Fazendo : c - c = c2 1
 
x y² + x = c 2 2
 
 
(Resposta - Solução geral da EDO)