Teorema 3. (Tricotomia.) Dados m, n ∈ N, qualquer das afirmacoes m < n, m = n, n < m exclui as outras duas. Demonstração: Se tivéssemos m < n e m =...

O Teorema 3, também conhecido como Tricotomia, afirma que para quaisquer números naturais m e n, apenas uma das afirmações m < n, m = n ou n < m é verdadeira. A demonstração desse teorema é baseada em argumentos por contradição. Suponha que m < n e m = n sejam verdadeiros. Nesse caso, podemos escrever m = m + p, onde p é um número natural qualquer. Se adicionarmos 1 em ambos os lados dessa igualdade, teremos m + 1 = m + p + 1. No entanto, se cancelarmos o m em ambos os lados, obteremos 1 = p + 1, o que é um absurdo, pois 1 não é o sucessor de nenhum número natural p. Portanto, a suposição de que m < n e m = n é verdadeira leva a uma contradição, o que significa que m < n e m = n são incompatíveis. Da mesma forma, se assumirmos que m < n e n < m são verdadeiros, podemos escrever n = m + p e m = n + k, onde p e k são números naturais. Se adicionarmos n em ambos os lados da primeira igualdade, teremos n + n = n + m + p, o que implica em n + 1 = n + k + p + 1. No entanto, se cancelarmos o n em ambos os lados, obteremos 1 = k + p + 1, o que é um absurdo. Portanto, a suposição de que m < n e n < m é verdadeira também leva a uma contradição. Assim, concluímos que apenas uma das afirmações m < n, m = n ou n < m pode ser verdadeira, o que confirma o Teorema 3 da Tricotomia.