Teorema 4. Não existem números naturais entre n e n + 1. Demonstração: Se fosse possível ter n < p < n + 1, teríamos p = n + k e n + 1 = p + r, log...

O teorema 4 afirma que não existem números naturais entre n e n + 1. A demonstração desse teorema é feita por contradição. Suponha que exista um número p tal que n < p < n + 1. Podemos escrever p como p = n + k, onde k é um número natural. Além disso, podemos escrever n + 1 como n + 1 = p + r, onde r é outro número natural. Se somarmos as duas equações, obtemos n + 1 = n + k + r. Ao cancelar o n de ambos os lados, obtemos 1 = k + r. No entanto, por definição, isso significaria que k é menor que 1, o que é absurdo, pois já vimos que k ≠ 1 ⇒ k > 1. Portanto, chegamos a uma contradição, o que prova que não existem números naturais entre n e n + 1.

O Teorema 4 afirma que não existem números naturais entre dois números naturais consecutivos, ou seja, não há nenhum número inteiro positivo que esteja estritamente entre n e n + 1, onde n é um número natural. A demonstração desse teorema é uma demonstração por contradição, onde se assume o contrário (que há um número p entre n e n + 1) e, em seguida, mostra-se que isso levaria a uma contradição.