Pela conservação de energia, a derivada da energia do oscilador com respeito ao tempo deve ser nula: dE dt = 0 Utilizando a expressão dada no ...

Pela conservação de energia, a derivada da energia do oscilador com respeito ao tempo deve ser nula:

dE
dt = 0

Utilizando a expressão dada no enunciado:

d(q̇2 + ω2q)
dt = 0 =⇒ dq̇2
dt + ω2dq

2
dt = 0

Utilizando a regra do produto para derivar q̇2:

dq̇2
dt = q̇
dq̇
dt + dq̇
dt q̇ = 2q̇q̈

Fazendo o mesmo para q2 encontramos:

dq2
dt = 2qq̇

Voltando para a expressão inicial:

dq̇2
dt + ω2dq

2
dt = 0 =⇒ 2q̇q̈ + 2ω2qq̇ = 0

Simplificando a expressão obtemos:

q̈ + ω2q = 0

Que é a EDO que representa o movimento de um sistema que oscila com frequência ω.