Three prime numbers p, q, and r, greater than 3, form an arithmetic progression, that is, q = p + d and r = p + 2d. Prove that d is divisible by 6....

Para provar que d é divisível por 6, podemos usar a propriedade dos números primos. Sabemos que p, q e r são números primos maiores que 3 e formam uma progressão aritmética. Portanto, podemos escrever q = p + d e r = p + 2d. Agora, vamos analisar os possíveis valores de d. Se d for ímpar, então p + d, p + 2d e p + 3d seriam números pares, o que contradiz o fato de que p, q e r são primos. Portanto, d não pode ser ímpar. Agora, vamos considerar os possíveis valores de d em relação à paridade. Se d for par, então p + d, p + 2d e p + 3d seriam números ímpares. No entanto, sabemos que p, q e r são primos, o que significa que eles não podem ser todos ímpares. Portanto, d não pode ser par. A única possibilidade restante é que d seja divisível por 2 e não seja ímpar, ou seja, d é divisível por 2, mas não por 3. Isso implica que d é divisível por 6, pois 2 e 3 são fatores primos distintos de 6. Portanto, podemos concluir que d é divisível por 6.