Questão 3 [2,5 pt] Use o método de Indução para mostrar que n3 −n é múltiplo de 3 para todo n ∈ N.

Para provar que n³ - n é múltiplo de 3 para todo n ∈ N usando o método de indução, podemos seguir os seguintes passos: Passo 1: Base da indução Verifique se a afirmação é verdadeira para o menor valor de n. No caso, n = 1. 1³ - 1 = 0, que é múltiplo de 3. Portanto, a afirmação é verdadeira para n = 1. Passo 2: Hipótese de indução Assuma que a afirmação seja verdadeira para um valor k qualquer, ou seja, k³ - k é múltiplo de 3. Passo 3: Passo de indução Vamos provar que a afirmação também é verdadeira para k + 1. (k + 1)³ - (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 - k - 1 Simplificando a expressão, temos: k³ - k + 3k² + 3k A partir da hipótese de indução, sabemos que k³ - k é múltiplo de 3. Além disso, podemos reescrever 3k² + 3k como 3(k² + k), que também é múltiplo de 3. Portanto, (k + 1)³ - (k + 1) é múltiplo de 3. Com isso, concluímos que a afirmação é verdadeira para n = 1 e, assumindo que é verdadeira para k, também é verdadeira para k + 1. Portanto, pelo princípio da indução, a afirmação é verdadeira para todo n ∈ N.