Pela conservação de energia, a derivada da energia do oscilador com respeito ao tempo deve ser nula: dE/dt = 0. Utilizando a expressão dada no e...

Pela conservação de energia, a derivada da energia do oscilador com respeito ao tempo deve ser nula: dE/dt = 0. Utilizando a expressão dada no enunciado: d(q̇2 + ω2q)/dt = 0 =⇒ dq̇2/dt + ω2dq2/dt = 0. Utilizando a regra do produto para derivar q̇2: dq̇2/dt = q̇dq̈/dt + dq̇/dtq̈ = 2q̇q̈. Fazendo o mesmo para q2 encontramos: dq2/dt = 2qq̇. Voltando para a expressão inicial: dq̇2/dt + ω2dq2/dt = 0 =⇒ 2q̇q̈ + 2ω2qq̇ = 0. Simplificando a expressão obtemos: q̈ + ω2q = 0. Que é a EDO que representa o movimento de um sistema que oscila com frequência ω.

A derivada da energia do oscilador com respeito ao tempo deve ser nula.
A EDO que representa o movimento de um sistema que oscila com frequência ω é q̈ + ω2q = 0.