No cálculo das integrais de linha, um dos elementos que deve ser estudado é a parametrização da região de integração, a qual pode ser uma curva pla...
No cálculo das integrais de linha, um dos elementos que deve ser estudado é a parametrização da região de integração, a qual pode ser uma curva plana ou no espaço, por exemplo. Supondo que seja necessário calcular a integral de linha da função f(x,y) = y2 sobre a curva C descrita por x = y3 com 0 ≤ y ≤ 2, assinale a alternativa que apresenta uma parametrização correta para a curva C:
r(t) = t i + t3 j, com 0 ≤ t ≤ 2
r(t) = t i + t j, com 0 ≤ t ≤ 8
r(t) = t3 i + t j, com 0 ≤ t ≤ 2
r(t) = t i + t j, com 0 ≤ t ≤ 2
r(t) = 2t i – t j, com 0 ≤ t ≤ 4
r(t) = t i + t3 j, com 0 ≤ t ≤ 2
r(t) = t i + t j, com 0 ≤ t ≤ 8
r(t) = t3 i + t j, com 0 ≤ t ≤ 2
r(t) = t i + t j, com 0 ≤ t ≤ 2
r(t) = 2t i – t j, com 0 ≤ t ≤ 4
💡 1 Resposta
Ed 
A curva C é descrita por x = y³ com 0 ≤ y ≤ 2. Para parametrizar a curva C, podemos escolher a coordenada y como parâmetro. Então, temos: x = y³ y = y r(y) = y³ i + y j Agora, podemos calcular a integral de linha da função f(x,y) = y² sobre a curva C: ∫(C) y² ds = ∫(0 to 2) f(r(y)) ||r'(y)|| dy = ∫(0 to 2) y² ||<3y², 1>|| dy = ∫(0 to 2) 3y^4 dy = [3/5 y^5] from 0 to 2 = 96/5 Portanto, a alternativa correta é r(t) = t³ i + t j, com 0 ≤ t ≤ 2.
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