Determine uma solução geral para a equação y′′′−4y′′−5y′=0

Para resolver a equação diferencial \( y''' - 4y'' - 5y' = 0 \), vamos seguir os passos: 1. Substituição: Vamos fazer a substituição \( y' = z \). Assim, temos \( y'' = z' \) e \( y''' = z'' \). A equação se torna: \[ z'' - 4z' - 5z = 0 \] 2. Encontrar a equação característica: A equação característica associada é: \[ r^2 - 4r - 5 = 0 \] 3. Resolver a equação característica: Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Assim, temos as raízes: \[ r_1 = 5 \quad \text{e} \quad r_2 = -1 \] 4. Solução geral para \( z \): A solução geral da equação \( z'' - 4z' - 5z = 0 \) é dada por: \[ z(t) = C_1 e^{5t} + C_2 e^{-t} \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 5. Voltar para \( y \): Como \( z = y' \), integramos para encontrar \( y \): \[ y(t) = \int z(t) \, dt = \int (C_1 e^{5t} + C_2 e^{-t}) \, dt \] \[ y(t) = \frac{C_1}{5} e^{5t} - C_2 e^{-t} + C_3 \] onde \( C_3 \) é uma constante de integração. Portanto, a solução geral da equação \( y''' - 4y'' - 5y' = 0 \) é: \[ y(t) = \frac{C_1}{5} e^{5t} - C_2 e^{-t} + C_3 \]