Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam po...

Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. 

Mas essa mãe também está preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos filhos a dieta equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado a seguir.

Tabela de informações nutricionais em mg

Vitamina

Leite (L)

Carne (kg)

Peixe (kg)

Salada (100 g)

A

2

2

10

20

C

50

20

10

30

D

80

70

10

80

A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa $ 2,00, um quilo de carne custa $ 20,00, um quilo de peixe custa $ 25,00, e que para preparar 100 g de salada ela gastaria $ 3,00. O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, buscando minimizar o custo, é dado por:

Min Z = 2x1 + 20x2 + 25x3 + 3x4

s. a.:

2x1 + 2x2 + 10x3 + 20x4 ≥ 10

50x1 + 20x2 + 10x3 + 30x4 ≥ 70

80x1 + 70x2 + 10x3 + 80x4 ≥ 250

         x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Sendo: x1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças

x2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças

x3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças

x4 = 100 g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças

As restrições para o dual do problema são dadas pelos seguintes conjuntos de inequações:

2y₁ + 50y₂ + 80y₃≥2; 2y₁ +20y₂ + 70y₃ ≥ 20

2y₁ + 2y₂ + 10y₃ + 20y₄ ≥ 10; 50y₁ + 20y₂ + 10y₃ + 30y₄ ≥ 70; 80y₁ + 70y₂ + 10y₃ + 80y₄ ≥ 250

 2y₁ + 50y₂ + 80y₃ ≥ 2; 2y₁ + 20y₂ + 70y₃ ≥ 20; 10y₁ + 10y₂ + 10y₃ ≥ 25; 20y₁ + 30y₂ + 80y₃ ≥ 3

2y₁ + 2y₂ + 10y₃ + 20y₄ ≤ 10; 50y₁ + 20y₂ + 10y₃ + 30y₄ ≤ 70; 80y₁ + 70y₂ + 10y₃ + 80y₄ ≤ 250

2y₁ + 50y₂ + 80y₃ ≤ 2; 2y₁ + 20y₂ + 70y₃ ≤ 20; 10y₁ + 10y₂ + 10y₃ ≤ 25; 20y₁ + 30y₂ + 80y₃ ≤3