AULA 2 Medidas de Posição e Dispersão

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ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa
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CONVERSA INICIAL
MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO
Anteriormente, aprendemos a organizar conjuntos de dados e observar como variáveis se
distribuem com tabelas de distribuição de frequência e histogramas. Nesta aula, vamos aprender
algumas medidas que ajudam a resumir diferentes propriedades de conjuntos de dados e que são
utilizadas para a realização de inferências estatísticas.
Os esforços de aprendizado são: (i) entender o conceito de medida de posição e seus principais
tipos e (ii) entender o conceito de medida de dispersão e seus principais tipos. Ambos os conceitos
são centrais para a estatística descritiva e inferencial, abordadas em conteúdo posterior.
CONTEXTUALIZANDO
Como resumir um conjunto de dados em algumas estatísticas? Como comparar diferentes
conjuntos de dados? Que valores representam melhor meu conjunto de dados e em qual grau eles
são uma representação precisa?
Essas e outras perguntas são elucidadas nesta aula, o entendimento dos conceitos apresentados
é fundamental para que possamos realizar uma análise descritiva de conjuntos de dados e são os
elementos fundamentais a serem aplicados nas diferentes técnicas de inferência estatísticas a serem
apresentadas em conteúdo posterior.
O objetivo é entender a lógica das medidas e como interpretá-las, o cálculo em si pode ser feito
facilmente em softwares especializados.
TEMA 1 – O QUE SÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO?
Anteriormente, aprendemos a utilizar histogramas e distribuições de frequência para analisarmos
a distribuição de um conjunto de dados ao longo de seu intervalo de valores. Analisar a distribuição
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de um conjunto de dados nos permite entender ao redor de quais valores os dados se concentram e
se há lacunas na escala para as quais não há dados.
Outras duas propriedades de conjuntos de dados muito relevantes tanto para a estatística
descritiva quanto para a estatística inferencial serão ensinadas hoje. A primeira são as medidas de
posição, que indicam valores ao redor dos quais os dados do conjunto se concentram, e a segunda
são as medidas de dispersão, que medem o quanto os dados de um conjunto variam entre si.
Uma medida de posição central é um valor numérico representativo de um conjunto de dados
que nos mostra um valor típico, uma tendência sobre a qual os dados do conjunto orbitam (Triola,
2006).
Alguns conceitos iniciais devem ser retomados e apresentados antes de se adentrar nas medidas
de posição em si (Triola, 2006).
N – número de elementos que compõem uma população;
n – número de elementos que compõem uma amostra;
∑ - operador somatório se refere à soma de todos os elementos de X;
Xi – i-ésima unidade do conjunto de dados X.
Parâmetro - medida numérica que descreve alguma característica da população, em geral
representada por letras gregas, como µ (mi), α (alfa) e β (beta);
Estatística - medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra, em geral
representadas por letras do nosso alfabeto comum, como a e b, letras do nosso alfabeto com algum
símbolo sobrescrito, como  (x barra), ou como letras gregas com algum símbolo sobrescrito, como 
 (alfa chapéu);
Outlier – valor de um conjunto de dados muito discrepante para mais ou para menos de todos
os outros dados.
TEMA 2 – MÉDIA E MEDIANA
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A média é a medida numérica mais utilizada para descrever um conjunto de dados. A média de
um conjunto de dados é calculada pela soma de todos os valores do conjunto dividido pelo número
total de unidades do conjunto de dados. Ela tem duas vantagens, (i) as médias amostrais tendem a
ser as medidas de centro mais consistentes no sentido que a média de diversas médias amostrais
retiradas da mesma população tende a convergir para o valor da média populacional e a apresentar
menor variabilidade que as outras medidas de centro e (ii) ela considera todos os valores do conjunto
de dados em seu cálculo, refletindo assim de alguma forma na distribuição e na concentração dos
dados do conjunto, sua principal desvantagem é que ela é sensível a outliers (Triola, 2006). O Quadro
1 mostra a fórmula e os componentes dos dois principais tipos de média.
Quadro 1 – Fórmula e componentes da média populacional e amostral
Média populacional Média amostral
Onde:
 é a média populacional
 é o somatório de todos os valores das unidades i da
variável X
N é o tamanho da população
Onde:
 é a média amostral
 é o somatório de todos os valores das unidades i da
variável X
n é o tamanho da amostra
Fonte: Barbosa, 2021.
Considere o seguinte conjunto de dados fictício:
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36
Para obtermos a média, bastaria somar todos esses dados e dividir pelo número de unidades do
conjunto de dados n, que é oito.
 =  =  = 20,75.
A média do conjunto de dados é 20,75. Se conjunto for uma amostra, resultado é uma média
amostral, se for a população inteira, é a média populacional.
Mediana
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A mediana é o valor que, quando o conjunto de dados é organizado de forma crescente ou
decrescente, fica no meio do conjunto. Se tamanho do conjunto de dados é um número par,
mediana é a média dos dois valores centrais. Tem a desvantagem de considerar somente um ou dois
elementos do conjunto de dados, não dizendo muito sobre a distribuição e a concentração dos
dados, tem como vantagem não ser afetada por outliers (Triola, 2006). Para o mesmo conjunto de
dados fictício, primeiro se organiza os dados em ordem crescente, depois se identifica o valor do
dado que fica no meio, no caso, por número de unidades do conjunto ser par, a mediana é a média
dos dois valores centrais, no caso 22 e 22, logo, o valor da mediana é 22.
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
TEMA 3 – MODA E SEPARATRIZES
A moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados (Triola, 2006). Tem
a vantagem de não ser influenciada pela presença de outliers e a desvantagem de levar em conta
somente o valor mais frequente em seu cálculo, ignorando o restante dos dados. Para sua
identificação, é preciso ordenar os dados em ordem crescente ou decrescente e visualizar qual se
repete mais vezes. Considerando nosso conjunto de dados.
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
Moda é o valor 22, que aparece duas vezes, nenhum outro valor apareceu mais de uma vez. Um
conjunto de dados pode ser amodal quando nenhum dos valores aparece em maior frequência que
os outros, unimodal quando há uma moda, bimodal quando há duas modas e assim por diante. Em
um histograma em que cada dado possível é uma barra, a moda é o valor com a barra mais alta.
Separatrizes
São medidas que separam o conjunto de dados em subconjuntos com igual número de
unidades, ajudando a identificar a forma com que os dados são distribuídos. Não são os valores da
variável X que são divididos em intervalos de igual tamanho, mas o número de dados, daí se
identifica qual o valor de X que marca o recorte entre uma separatriz e outra. Os intervalos podem
ser diversos, quatro (quartil), cinco (quintil), dez (decil), cem (percentil), entre outros.
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Por exemplo, se dividirmos a distribuição de renda per capita de todos os brasileiros em dez
intervalos (decis) e quisermos saber que valor separa os 10% de menor renda do restante dos
brasileiros, basta identificarmos o valor do primeiro decil. 10% da população brasileira ganha uma
quantia igual ou menor que esse valor.
Retomando nosso conjunto de dados fictício e calculando os valores de seus quartis (intervalos
que dividem 25%, 50%e 75% dos dados).
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
O cálculo desses valores é relativamente trabalhoso, utilizou-se o Statdisk para o cálculo e para a
criação do gráfico a seguir, conhecido como boxplot.
Tabela 1 – Valores dos quartis
Medida Valor X
Valor mínimo 10
Primeiro quartil 11,5
Segundo quartil 22
Terceiro quartil 26,5
Valor máximo 36
Fonte: elaborada com base em software Statdisk.
Figura 1 – Gráfico boxplot dos dados
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Fonte: elaborada com base no software Statdisk.
Na escala de cima se coloca os valores da variável X, as pontas da linha são os valores mínimo e
máximo do conjunto de dados, os outros três valores destacados são o primeiro quartil (11,5), o
segundo quartil (22), que sempre é igual à mediana, e o terceiro quartil (26,5). A escala de baixo
mostra os valores possíveis da amostra.
Intervalos menores entre os valores indicam que dados são mais concentrados, por exemplo, um
quarto dos valores está entre 10 e 11,5 unidades, já o último quarto de valores está menos
concentrado, já que varia de 26,5 a 36. O conceito de separatrizes e gráficos como o boxplot ajudam
a analisar resumidamente como os dados estão distribuídos e os pontos de concentração de forma
parecida às tabelas de distribuição de frequência e histogramas.
No exemplo, foi utilizado quartis, mas outras medidas como quintis, decis e percentis poderiam
ter sido utilizadas.
TEMA 4 – MEDIDAS DE DISPERSÃO
Dispersão é o quanto os valores de um conjunto de dados variam entre si. Quanto mais
próximos os dados estiverem entre si, menor a dispersão e vice-versa (Triola, 2006). A primeira
medida de dispersão analisada é a amplitude.
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A amplitude é a diferença entre o valor máximo e o mínimo de um conjunto de dados.
Organizando-se os dados em ordem crescente ou simplesmente utilizando um software estatístico, é
fácil obter essa estimativa, mas sua utilidade prática é pequena, já que em seu cálculo ela considera
somente dois valores extremos de um conjunto de dados, ignorando todas as outras unidades (Triola,
2006).
A amplitude não diz nada sobre a distribuição dos dados, não indica se eles estão concentrados
perto de um dos extremos ou do outro ou de qualquer outro valor em particular. Considerando
nosso conjunto de dados fictício.
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
Amplitude = valor máximo - valor mínimo = 36 – 10 = 26.
TEMA 5 – VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
As medidas de dispersão mais utilizadas são o desvio padrão e a variância. Ambas utilizam em
seu cálculo a média e são interpretadas como o grau de variação dos dados em relação à média.
Começando pela variância, ela é calculada pelo somatório de cada valor de X subtraído da média,
tudo elevado ao quadrado e dividido pelo tamanho da população ou pelo tamanho da amostra
menos um. O Quadro 2 mostra as fórmulas e componentes da variância, que são levemente
diferentes se conjunto de dados é uma população ou amostra.
Quadro 2 – Fórmula e componentes da variância populacional e amostral
Variância populacional Variância amostral
Onde:
 (sigma ao quadrado) é a variância populacional
 é o somatório de cada valor Xi subtraído da
média populacional elevado ao quadrado
N é o tamanho da população
Onde:
 é a variância amostral
 é o somatório de cada valor Xi subtraído da
média amostral elevado ao quadrado
n – 1 é o tamanho da amostra menos um
Fonte: Barbosa, 2021.
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Retomando o conjunto de dados fictícios, calcula-se sua variância considerando o conjunto uma
população e uma amostra. Os cálculos são relativamente trabalhosos, por isso se utilizou o software
Statdisk.
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
A variância populacional é menor que a amostral porque na fórmula da variância amostral a
divisão ocorre por n-1 e não por N. A unidade de medida da variância é a mesma da variável X, só
que elevada ao quadrado, não tendo assim uma interpretação direta, no exemplo seria 74,2 ou 84,8
unidades ao quadrado, uma unidade de medida diferente e não diretamente comparável à unidade
de medida dos dados e das medidas de posição.
Para corrigir esse problema, usa-se o desvio padrão, que é derivado da fórmula da variância, mas
que pertence à mesma unidade de medida da variável X e das outras medidas de posição, sendo
assim facilmente interpretável. Sua fórmula e componentes estão no Quadro 3.
Quadro 3 – Fórmula e componentes do desvio padrão populacional e amostral
Desvio padrão populacional Desvio padrão amostral
Onde:
 (sigma) é o desvio padrão populacional
 é o somatório de cada valor Xi subtraído da
média populacional elevado ao quadrado
N é o tamanho da população
Onde:
 é o desvio padrão amostral
 é o somatório de cada valor Xi subtraído da
média amostral elevado ao quadrado
n – 1 é o tamanho da amostra menos um
Fonte: Barbosa, 2021.
Retomando nosso conjunto de dados fictício e utilizando o Statdisk para a realização dos
cálculos.
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X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
8,6
9,2
O desvio padrão amostral é maior que o populacional pela mesma razão das variâncias, o
denominador do primeiro é n-1 e do segundo é N. O valor está na mesma escala da variável original,
a média é de 20,75 unidades, o desvio padrão é de 8,6 ou 9,2 unidades de variação em relação à
média.
O desvio-padrão mede a variação de todos os valores do conjunto de dados em relação à
média, tanto para o lado esquerdo quanto para o lado direito da média. Assim como a variância, seu
valor pode ser positivo ou zero, caso todos os valores do conjunto de dados sejam iguais, mas ele
nunca é negativo. Tem a vantagem de considerar todos os dados em seu cálculo e a desvantagem de
ser influenciado pela presença de outliers. As fórmulas dos desvios-padrão são similares às das
variâncias, só se extrai a raiz quadrada do valor calculado das variâncias para se obter os desvios -
padrão e se eleva os valores dos desvios-padrão ao quadrado para se obter as variâncias.
Entendidos esses conceitos, podemos realizar uma análise estatística descritiva do conjunto de
dados real a seguir. A Tabela 2 mostra a taxa de crescimento econômico percentual de um trimestre
acumulada em relação aos quatro trimestres anteriores entre 2016 e 2021. Por exemplo, a taxa de
crescimento de 0,1% no 3º trimestre de 2017 reflete a um aumento no valor do PIB de apenas 0,1%
entre o 3º trimestre de 2016 e o 3º trimestre de 2017.
Tabela 2 – Taxa de crescimento econômico trimestral – acumulado dos quatro trimestres
anteriores
Trimestre Taxa de crescimento – em %
1º trimestre 2016 -4,4
2º trimestre 2016 -4,5
3º trimestre 2016 -4,1
4º trimestre 2016 -3,3
1º trimestre 2017 -1,9
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2º trimestre 2017 -0,9
3º trimestre 2017 0,1
4º trimestre 2017 1,3
1º trimestre 2018 1,7
2º trimestre 2018 1,9
3º trimestre 2018 2
4º trimestre 2018 1,8
1º trimestre 2019 1,6
2º trimestre 2019 1,6
3º trimestre 2019 1,4
4º trimestre 2019 1,4
1º trimestre 2020 1
2º trimestre 2020 -2,1
3º trimestre 2020 -3,4
4º trimestre 2020 -4,1
1º trimestre 2021 -3,8
2º trimestre 2021 1,8
Fonte: SCNT – IBGE, 2021.
Os dados foram colocados no Statdisk on-line e analisados ao se pressionar a aba Data e a
opção Explora Data – Descriptive Statistics. As estatísticas obtidas estão resumidas na Tabela 3.
Tabela 3 – Estatísticas da taxa de crescimento trimestral acumulada de quatro trimestres do Brasil
Estatística Valor
Média - 0,677%
Mediana 0,55%
Variância 6,55
Desvio-padrão 2,56%
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Amplitude 6,5%
Valor mínimo - 4,5%
Primeiro quartil - 3,4%
Segundo quartil 0,55
Terceiro quartil 1,6
Valor máximo 2
Fonte: elaborada com base em software on-line Statdisk.Nota-se que as taxas de crescimento brasileiras foram bem baixas no período de 2016 a 2021,
refletindo a recessão que o país vem passando há anos. A taxa média de crescimento é na verdade
negativa – 0,677%, a mediana é positiva e relativamente pequena (0,55%), indicando que a maioria
das taxas é positiva, mas baixa. O desvio-padrão de 2,56% indica uma variação considerável das taxas
de crescimento do período. A taxa mínima foi de –4,5% no segundo trimestre de 2016, ou seja,
período de recessão aguda, e a maior de 2%, relativamente baixa, já que os dados consideram os
quatro trimestres anteriores. Essas estatísticas relativamente simples já nos permitem fazer um
panorama relativamente detalhado do crescimento brasileiro do período recente. A principal
conclusão é que as taxas de crescimento foram negativas ou muito baixas no período, prejudicando
o desempenho econômico nacional.
TROCANDO IDEIAS
Em um fórum de discussão, discuta os problemas que podem surgir da má interpretação de
medidas de posição e/ou dispersão da estatística em situações do cotidiano.
NA PRÁTICA
A lição proposta é acessar o software estatístico Statdisk on-line, como no conteúdo anterior,
calcular as medidas de posição e dispersão do conjunto de dados descrito a seguir e interpretar seus
resultados. Os dados são a renda familiar per capita das unidades federativas brasileiras em 2019, já
explorados em outro momento e expressos na Tabela 4.
Tabela 4 – Renda familiar per capita das unidades federativas brasileiras em 2019 - em R$
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Rondônia 1111
Acre 890
Amazonas 838
Roraima 1050
Pará 795
Amapá 874
Tocantins 1038
Maranhão 637
Piauí 831
Ceará 939
Rio Grande do Norte 1042
Paraíba 909
Pernambuco 954
Alagoas 729
Sergipe 970
Bahia 912
Minas Gerais 1331
Espírito Santo 1440
Rio de Janeiro 1809
São Paulo 1889
Paraná 1586
Santa Catarina 1709
Rio Grande do Sul 1812
Mato Grosso do Sul 1491
Mato Grosso 1361
Goiás 1284
Distrito Federal 2599
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Fonte: PNAD IBGE, 2021.
Passos para a realização da atividade:
1. Acesso ao site do Statdisk;
2. Entre em sua conta;
3. O programa vai abrir sua página inicial com uma planilha vazia;
4. Copie e cole as duas colunas descritas anteriormente;
5. Após colar, clique em Data na barra superior e na opção Explore Data – Descriptive Statistics
(Explore os dados – Estatísticas Descritivas);
6. Após abrir a janela, clique em Select Column e coloque a opção 2, já que a primeira coluna
ficou com o nome das unidades federativas e a segunda com os dados;
7. Clique em Evaluate (Valorar/Calcular) no retângulo verde;
8. Observe, à esquerda, um conjunto de estatísticas descritivas que será calculado para o conjunto
de dados e à direita um histograma será apresentado;
9. Entre as estatísticas calculadas, identifique Sample Size n (tamanho amostral n), mean (média),
median (mediana), variance (variância), standard deviation (desvio padrão), range (amplitude),
minimum (mínimo), 1st quartile (primeiro quartil), 2nd quartile (segundo quartil), 3rd quartile
(terceiro quartil), maximum (máximo). Todas são medidas em reais, exceto a variância, que é
medida em reais ao quadrado;
10. Interprete essas estatísticas, o que elas dizem sobre a distribuição da renda familiar per capita
entre as unidades federativas do Brasil.
Caso não disponha de um computador ou não consiga realizar a lição proposta, procure calcular
à mão ou em uma calculadora ao menos a média, mediana e desvio-padrão desse conjunto de dados
e interprete os resultados.
FINALIZANDO
Nesta aula aprendemos sobre algumas medidas que nos ajudam a sintetizar características de
conjuntos de dados. Essas medidas estão entre os conceitos fundamentais de toda a estatística e são
utilizadas em uma variedade de aplicações. Entender a lógica dessas medidas e como interpretá-las é
importante para nosso avanço nos próximos conteúdos.
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REFERÊNCIAS
PNAD IBGE (2021). PNAD – Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Disponível em:
<https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/rendimento-despesa-e-consumo/9127-pesquisa-
nacional-por-amostra-de-domicilios.html?=&t=o-que-e>. Acesso em: 4 set. 2021.
SCNT – IBGE (2021). Sistema de Contas Nacionais Trimestrais. Disponível em:
<https://www.ibge.gov.br/estatisticas/economicas/contas-nacionais/9300-contas-nacionais-
trimestrais.html?=&t=series-
historicas&utm_source=landing&utm_medium=explica&utm_campaign=pib#evolucao-taxa>. Acesso
em: 7 set. 2021.
TRIOLA, M. F. Capítulo 3 – Estatísticas para a descrição, exploração e comparação de dados. In:
TRIOLA, M. F. Estatística elementar. 10. ed. Boston: Pearson Prentice Hall, 2006, p. 74-135.