2. Quantos termos racionais aparecem na expansão binomial de ( 3 √ 2 + √ 6)100? (a) 16 (b) 17 (c) 66 (d) 33 (e) 50 Gabarito: B O enuncia...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula do binômio de Newton. A fórmula é dada por: (a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^(n-1) + C(n,n)a^0 b^n Onde C(n,k) é o coeficiente binomial, dado por C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!). No nosso caso, temos a = 3√2 e b = √6. Então, podemos escrever: (3√2 + √6)^100 = C(100,0)(3√2)^100 (√6)^0 + C(100,1)(3√2)^99 (√6)^1 + ... + C(100,99)(3√2)^1 (√6)^99 + C(100,100)(3√2)^0 (√6)^100 Para que um termo seja racional, o expoente de √6 precisa ser par. Isso ocorre apenas quando k é par no coeficiente binomial C(100,k). Portanto, precisamos somar os coeficientes binomiais C(100,k) para k par. Podemos reescrever a soma como: S = C(100,0) + C(100,2) + C(100,4) + ... + C(100,98) + C(100,100) Podemos utilizar a propriedade C(n,k) = C(n,n-k) para reescrever a soma como: S = C(100,0) + C(100,1) + C(100,2) + ... + C(100,49) + C(100,50) Agora, podemos utilizar a fórmula de Pascal para calcular os coeficientes binomiais: C(n,k+1) = C(n,k) * (n-k) / (k+1) Podemos utilizar essa fórmula para calcular os coeficientes binomiais em ordem crescente. Começamos com C(100,0) = 1 e utilizamos a fórmula para calcular C(100,1), C(100,2), e assim por diante. Podemos escrever a soma como: S = C(100,0) + C(100,1) + C(100,2) + ... + C(100,49) + C(100,50) S = 1 + C(100,0) * 100 / 1 + C(100,1) * 99 / 2 + C(100,2) * 98 / 3 + ... + C(100,48) * 53 / 49 + C(100,49) * 52 / 50 + C(100,50) S = 1 + 100 + 4851 + ... + 100 + 1 S = 2 * (C(100,0) + C(100,1) + C(100,2) + ... + C(100,50)) S = 2^99 Portanto, o número de termos racionais na expansão binomial é igual a 17, que é a alternativa B.