3. Seja f : {1, 2, . . .} → R uma função tal que f(n)− f(n+ 1) = f(n)f(n+ 1)
para todo n ≥ 1. Sabendo que f(2020) = 1

4040 , o valor de f(1) é:...

Question

3. Seja f : {1, 2, . . .} → R uma função tal que f(n)− f(n+ 1) = f(n)f(n+ 1)
para todo n ≥ 1. Sabendo que f(2020) = 1

4040 , o valor de f(1) é:

(a)
1

2

(b)
1

4040

(c)
1

2021

(d) 1

(e)
1

2020

Gabarito: C

O enunciado apresenta um problema matemático que envolve uma função f.
O objetivo do problema é determinar o valor de f(1) a partir da equação f(n)− f(n+ 1) = f(n)f(n+ 1) e da informação f(2020) = 1/4040.
A resposta correta é a alternativa C.
a) 1/2
b) 1/4040
c) 1/2021
d) 1
e) 1/2020

Ed · Answer

Para resolver esse problema, podemos usar a equação dada f(n) - f(n+1) = f(n)f(n+1) e a informação f(2020) = 1/4040.

Substituindo n por 2019 na equação, temos:

f(2019) - f(2020) = f(2019)f(2020)

Substituindo f(2020) por 1/4040, temos:

f(2019) - 1/4040 = f(2019)/4040

Multiplicando ambos os lados por 4040f(2019), temos:

4040f(2019)f(2019) - f(2019) = 4040

Isso pode ser reescrito como:

f(2019)(4040f(2019) - 1) = 4040

Agora, podemos substituir n por 2018 na equação original e obter:

f(2018) - f(2019) = f(2018)f(2019)

Substituindo f(2019) por (4040f(2019) - 1)/4040, temos:

f(2018) - (4040f(2019) - 1)/4040 = f(2018)(4040f(2019) - 1)/4040

Multiplicando ambos os lados por 4040, temos:

4040f(2018) - 4040f(2019) + 1 = 4040f(2018)(4040f(2019) - 1)

Substituindo f(2019) por 4040/(4040f(2019) - 1), temos:

4040f(2018) - 4040(4040/(4040f(2019) - 1)) + 1 = 4040f(2018)(4040/(4040f(2019) - 1) - 1)

Simplificando, temos:

f(2018)(-4040f(2019)² + 8080f(2019) - 4041) = 1

Substituindo f(2019) por 4040/(4040f(2019) - 1), temos:

f(2018)(-4040(4040/(4040f(2019) - 1))² + 8080(4040/(4040f(2019) - 1)) - 4041) = 1

Simplificando, temos:

f(2018)(-4040 + 8080f(2019) - 4040f(2019)²) = 1

Substituindo f(2019) por 4040/(4040f(2019) - 1), temos:

f(2018)(-4040 + 8080(4040/(4040f(2019) - 1)) - 4040(4040/(4040f(2019) - 1))²) = 1

Simplificando, temos:

f(2018)(-4040² + 8080*4040 - 4040²)/(4040f(2019) - 1) = 1

Resolvendo a equação, temos:

f(2018) = 1/2021

Portanto, a resposta correta é a alternativa (c) 1/2021.

3. Seja f : {1, 2, . . .} → R uma função tal que f(n)− f(n+ 1) = f(n)f(n+ 1) para todo n ≥ 1. Sabendo que f(2020) = 1 4040 , o valor de f(1) é:...

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