10. Seja f1(x) = x2 + 4x + 2, e para n ≥ 2, seja fn(x) a n-ésima composição do polinômio f1(x) consigo mesmo. Por exemplo, f2(x) = f1 (f1(x)) ...

Para encontrar o valor de s2020, precisamos primeiro encontrar o polinômio f2020(x). Podemos fazer isso encontrando f2(x), f4(x), f8(x), f16(x), f32(x), ..., f2048(x) e, em seguida, substituindo x por 1 em f2048(x) para obter f2020(1). No entanto, esse processo seria muito demorado. Felizmente, podemos usar uma abordagem mais inteligente. Observe que, para qualquer n ≥ 2, o polinômio fn(x) sempre terá coeficiente principal igual a 1 e coeficiente linear igual a 4. Além disso, os coeficientes dos termos de grau ímpar de fn(x) sempre serão pares. Portanto, podemos escrever fn(x) na forma: fn(x) = x2n + 4xn + an, onde an é a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x). Observe que f1(x) pode ser escrita nessa forma com a = 2. Podemos então usar essa fórmula para calcular fn(x) para n = 2, 4, 8, 16, 32, ..., 2048. Para n = 2, temos: f2(x) = f1(f1(x)) = f1(x2 + 4x + 2) = (x2 + 4x + 2)2 + 4(x2 + 4x + 2) + 2 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 14. Portanto, s2 = 1 + 24 + 14 = 39. Para n = 4, temos: f4(x) = f2(f2(x)) = f2(x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 14) = (x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 14)2 + 4(x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 14) + 2 = x8 + 16x7 + 120x6 + 448x5 + 1064x4 + 1728x3 + 2016x2 + 1280x + 438. Portanto, s4 = 1 + 120 + 1064 + 2016 = 3201. Podemos continuar esse processo para encontrar fn(x) para n = 8, 16, 32, ..., 2048. No entanto, observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é igual a an + s(n/2). Portanto, podemos usar essa fórmula para calcular an para n = 4, 8, 16, 32, ..., 2048, em vez de encontrar fn(x) diretamente. Para n = 4, temos: an = s2 + a = 39 + 2 = 41. Para n = 8, temos: an = s4 + a = 3201 + 41 = 3242. Para n = 16, temos: an = s8 + a = 1048577 + 3242 = 1051819. Podemos continuar esse processo para encontrar an para n = 32, 64, 128, ..., 2048. Observe que a sequência an cresce muito rapidamente. No entanto, podemos usar a fórmula an = s(n/2) + an/2 para encontrar an para n = 2048 a partir de an = 1051819 para n = 1024. Para n = 1024, temos: an = s512 + a = 2.6843546 × 1017 + 1051819 = 2.6843546 × 1017 + s1024/2. Portanto, s1024/2 = an - 2.6843546 × 1017 = 1.999999999999999 × 1017. Podemos continuar esse processo para encontrar s2020/2, s4040/4, s8080/8, ..., s2048. Observe que s2020/2 é a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2020(x) para x par. Portanto, s2020 é duas vezes s2020/2 menos o coeficiente do termo de grau zero de f2020(x), que é 2. Portanto, temos: s2020 = 2s2020/2 - 2 = 2(s4040/4 - 2) - 2 = 2(s8080/8 - 2) - 2 = ... = 2(s2048 - 2) - 2. Portanto, precisamos encontrar s2048. Observe que s2048 = a2048, que podemos encontrar usando a fórmula an = s(n/2) + an/2. Temos: a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256 + ... + s8 + s4 + 1) + 41(1 + 2 + 4 + ... + 1024). Observe que a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f1(x) é 2, que é par. Portanto, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Além disso, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de fn(x) é sempre par para n ≥ 2. Portanto, a soma dos coeficientes dos termos de grau par de f2048(x) é par. Portanto, s2048 é par. Podemos então calcular s2048 usando a fórmula acima. Observe que s2048 = a2048 = s1024 + a1024 = s1024 + s512 + a512 = ... = s2 + a + s4 + a + ... + s1024 + a1024. Temos: s2048 = 2s1024 + 2s512 + 2a512 + 2s256 + 2a256 + ... + 2s8 + 2a8 + 2s4 + 2a4 + 2s2 + 2a2 + 2a1. Observe que a1 = 2 e a2 = 41. Além disso, s2, s4, s8, ..., s1024 são todos pares. Portanto, podemos escrever s2048 como: s2048 = 2(2s1024 + s512 + s256