Determine se as funções abaixo são linearmente independentes ou dependentes em R: 15. f1(x) = x, f2(x) = x^2, f3(x) = 4x− 3x^2; 17. f1(x) = 0,...

Para determinar se as funções são linearmente independentes ou dependentes, precisamos verificar se a equação a seguir tem solução não trivial: c1*f1(x) + c2*f2(x) + c3*f3(x) = 0 Se a equação tiver solução não trivial, as funções são linearmente dependentes. Caso contrário, elas são linearmente independentes. 15. Para as funções f1(x) = x, f2(x) = x^2 e f3(x) = 4x - 3x^2, temos: c1*x + c2*x^2 + c3*(4x - 3x^2) = 0 (-3c3)x^2 + (c2)x + (c1*4) = 0 Para que a equação tenha solução não trivial, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero: |0 1 0| |4 0 -3| |0 0 -3| O determinante é igual a -12, portanto, a equação tem solução não trivial e as funções são linearmente dependentes. 17. Para as funções f1(x) = 0, f2(x) = x e f3(x) = e^x, temos: c1*0 + c2*x + c3*e^x = 0 c2*x = -c3*e^x Para que a equação tenha solução não trivial, c2 deve ser diferente de zero. No entanto, se c2 for diferente de zero, a equação não terá solução para todos os valores de x. Portanto, as funções são linearmente independentes. 18. Para as funções f1(x) = cos(2x), f2(x) = 1 e f3(x) = cos^2(x), temos: c1*cos(2x) + c2*1 + c3*cos^2(x) = 0 cos^2(x)*c3 + cos(2x)*c1 + c2 = 0 Para que a equação tenha solução não trivial, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero: |0 1 0| |1 0 1| |1 0 0| O determinante é igual a -1, portanto, a equação tem solução não trivial e as funções são linearmente dependentes. 21. Para as funções f1(x) = 1 + x, f2(x) = x e f3(x) = x^2, temos: c1*(1 + x) + c2*x + c3*x^2 = 0 c3*x^2 + c2*x + c1*(1 + x) = 0 Para que a equação tenha solução não trivial, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero: |1 0 1| |0 1 0| |c1 1 0| O determinante é igual a -1, portanto, a equação tem solução não trivial e as funções são linearmente dependentes.