12. Encontre o número de inteiros positivos n menores que 2020 tais que o polinômio (x4 − 1)n + (x2 − x)n seja diviśıvel por x5 − 1. (a) 202 ...

Para que o polinômio (x4 − 1)n + (x2 − x)n seja divisível por x5 − 1, é necessário que x5 − 1 seja um fator do polinômio. Podemos fatorar x5 − 1 como (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1). Como o grau do polinômio (x4 − 1)n + (x2 − x)n é no máximo 4, ele só pode ser divisível por x5 − 1 se o polinômio (x4 − 1)n for divisível por x − 1 e o polinômio (x4 − 1)n + (x2 − x)n for divisível por x4 + x3 + x2 + x + 1. O polinômio (x4 − 1)n é divisível por x − 1 se n for ímpar, pois (x4 − 1) é divisível por (x − 1). O polinômio (x4 − 1)n + (x2 − x)n é divisível por x4 + x3 + x2 + x + 1 se n for múltiplo de 5, pois x5 − 1 é divisível por x4 + x3 + x2 + x + 1 e (x4 − 1) é divisível por x4 + x3 + x2 + x + 1. Portanto, o número de inteiros positivos n menores que 2020 que satisfazem a condição é igual ao número de múltiplos de 5 menores que 2020 dividido por 2, já que n precisa ser ímpar. O maior múltiplo de 5 menor que 2020 é 2015. O menor múltiplo de 5 é 5. Portanto, o número de múltiplos de 5 menores que 2020 é (2015 - 5)/5 + 1 = 402. O número de inteiros positivos n menores que 2020 que satisfazem a condição é 402/2 = 201. Portanto, a resposta correta é a alternativa B) 201.