Ex. 1 Dados dois conjuntos M e N sabemos, pelo Prinćıpio da Inclusão-Exclusão (página 38 do Módulo 1), que: n(M ∪N) = n(M) + n(N)− n(M ∩N) . ...

Ex. 1 Dados dois conjuntos M e N sabemos, pelo Prinćıpio da Inclusão-Exclusão (página 38 do Módulo 1), que:
n(M ∪N) = n(M) + n(N)− n(M ∩N) .

Prove que o Prinćıpio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos, digamos A, B e C, é dado por

n(A ∪B ∪C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩B)− n(A ∩C)− n(B ∩C) + n(A ∩B ∩C) .

Estatística Aplicada

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Desafios Para o Conhecimento

23/10/2023

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EXERCÍCIOS PROBABILIDADE 2

Estatística Aplicada • Universidade Estácio de SáUniversidade Estácio de Sá

Carlos Mello

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23.10.2023

Para provar o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos, podemos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão para dois conjuntos duas vezes. Primeiro, aplicamos o princípio para A e B, e depois para o resultado da união de A e B com C. Assim, temos: n((A ∪ B) ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) - n((A ∪ B) ∩ C) (pelo Princípio da Inclusão-Exclusão para dois conjuntos) n((A ∪ B) ∪ C) = (n(A) + n(B) - n(A ∩ B)) + n(C) - (n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n((A ∩ B) ∩ C)) (aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão para A e B) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) (simplificando a equação) Portanto, provamos que o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos é dado por n(A ∪B ∪C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩B)− n(A ∩C)− n(B ∩C) + n(A ∩B ∩C).

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