As integrais são capazes de muito mais que apenas representar áreas sob curvas ou entre curvas. Elas são intimamente relacionadas com derivadas. Is...

Para encontrar o deslocamento da partícula no intervalo 0 ≤ t ≤ 3, é necessário calcular a integral da função de velocidade v(t) = t² - 2t em relação ao tempo t, no intervalo de 0 a 3: ∫(0 a 3) v(t) dt = ∫(0 a 3) (t² - 2t) dt Resolvendo a integral, temos: ∫(0 a 3) (t² - 2t) dt = [(t³/3) - t²] de 0 a 3 Substituindo os valores, temos: [(3³/3) - 3²] - [(0³/3) - 0²] = 9 - 9/3 = 6 metros Portanto, o deslocamento da partícula no intervalo de 0 a 3 segundos é de 6 metros. Para encontrar a distância total percorrida pela partícula no mesmo intervalo, é necessário calcular a integral do módulo da função de velocidade v(t) = t² - 2t em relação ao tempo t, no intervalo de 0 a 3: ∫(0 a 3) |v(t)| dt = ∫(0 a 3) |t² - 2t| dt Resolvendo a integral, temos: ∫(0 a 3) |t² - 2t| dt = ∫(0 a 2) (2t - t²) dt + ∫(2 a 3) (t² - 2t) dt Substituindo os valores, temos: ∫(0 a 2) (2t - t²) dt + ∫(2 a 3) (t² - 2t) dt = [(t² - t³/3)] de 0 a 2 + [(t³/3) - t²] de 2 a 3 [(2² - 2³/3) - (0² - 0³/3)] + [(3³/3) - 3² - (2³/3) + 2²] = 8/3 + 1/3 = 3 metros Portanto, a distância total percorrida pela partícula no intervalo de 0 a 3 segundos é de 3 metros.