Calcule as integrais abaixo: a) ∫ ∫ ∫ W 1/z² dxdydz, onde W é o sólido limitado pelas superf́ıcies z = √(x² + y²), z = √(1 − x² − y²) e z = √(4 −...

a) Para calcular a integral tripla, é necessário utilizar a mudança de variáveis para coordenadas esféricas. A integral fica da seguinte forma: ∫∫∫W 1/z² dxdydz = ∫∫∫W 1/r² * sen(φ) drdφdθ Onde: r = √(x² + y² + z²) φ = arctg(√(x² + y²)/z) θ = arctg(y/x) As superfícies de limite do sólido W são: z = √(x² + y²) z = √(1 − x² − y²) z = √(4 − x² − y²) A interseção das superfícies z = √(x² + y²) e z = √(1 − x² − y²) é dada por x² + y² = 1/2. A interseção das superfícies z = √(x² + y²) e z = √(4 − x² − y²) é dada por x² + y² = 4/2 = 2. Assim, a integral fica: ∫∫∫W 1/z² dxdydz = ∫0^2π ∫0^π/4 ∫√(r²cos²(φ) + r²sen²(φ))^(3/2) r²sen(φ) drdφdθ + ∫0^2π ∫π/4^π/2 ∫√(r²cos²(φ) + r²sen²(φ))^(3/2) r²sen(φ) drdφdθ + ∫0^2π ∫π/2^π ∫√(r²cos²(φ) + r²sen²(φ))^(3/2) r²sen(φ) drdφdθ Resolvendo a integral, temos: ∫∫∫W 1/z² dxdydz = π/2(h³ - b³/3 - a²b + ab²/3) Portanto, a alternativa correta é a letra a). b) Para calcular a integral tripla, é necessário utilizar a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas. A integral fica da seguinte forma: ∫∫∫W (1 + √(x² + y²)) dxdydz = ∫∫∫W (1 + r) r drdθdz Onde: r = √(x² + y²) As superfícies de limite do sólido W são: z = √(x² + y²) (Cone) z = 1 (Plano) Assim, a integral fica: ∫∫∫W (1 + √(x² + y²)) dxdydz = ∫0^2π ∫0^1 ∫z^(2)^(1/2) (1 + r) r drdθdz Resolvendo a integral, temos: ∫∫∫W (1 + √(x² + y²)) dxdydz = π/3 Portanto, a alternativa correta é a letra b).