Calcule ∫ ∫ D (y - x)/(x + y) dxdy, onde D é a região do plano limitada pela reta y + x = 2 e pelos eixos coordenados. a) ln(2) - 1/2 b) ln(2) ...

Para calcular a integral dada, podemos utilizar a mudança de variáveis x = u - v e y = v. Com isso, temos: ∫ ∫ D (y - x)/(x + y) dxdy = ∫ ∫ D v/(u + v) dudv Onde D é a região do plano limitada pela reta y + x = 2 e pelos eixos coordenados. A região D pode ser descrita como 0 ≤ x ≤ 2 - y e 0 ≤ y ≤ 2 - x. Fazendo a mudança de variáveis, temos que: x + y = u y = v Logo, x = u - v. Calculando os limites de integração para u e v, temos: 0 ≤ u ≤ 2 0 ≤ v ≤ u Assim, a integral fica: ∫ ∫ D v/(u + v) dudv = ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu Resolvendo a integral em relação a v, temos: ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ∫0² [ln(u + v) - ln(v)]|v=0^v=u du ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ∫0² ln(u + u) - ln(u + 0) du ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ∫0² ln(2u) - ln(u) du ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ∫0² ln(2) + ln(u) - ln(u) du ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ∫0² ln(2) du ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ln(2) ∫0² du ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ln(2) [u]|u=0^u=2 ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ln(2) [2 - 0] ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = ln(2) * 2 ∫0² ∫0^u v/(u + v) dvdu = 2 ln(2) Portanto, a alternativa correta é a letra E) ln(2) + 2.