A taxa de variação do preço unitário P (em reais) de um certo produto é dada por dP = 135x dx √ 9+x² onde x é a demanda do pr...

(a) Para encontrar a função de demanda P(x), precisamos integrar a equação dada. Temos: dP/dx = 135x/√(9+x²) Separando as variáveis e integrando, temos: ∫dP/135x = ∫dx/√(9+x²) (1/135)ln|x| = arcsen(x/3) + C onde C é a constante de integração. Para encontrar C, podemos usar as informações fornecidas no problema. Quando x = 4, P = 30. Substituindo esses valores na equação acima, temos: (1/135)ln|4| = arcsen(4/3) + C C = (1/135)ln(4) - arcsen(4/3) Portanto, a função de demanda é: P(x) = 135√(9+x²)ln|x| + K onde K é uma constante de integração. Para encontrar K, podemos usar as informações fornecidas no problema novamente. Quando x = 4, P = 30. Substituindo esses valores na equação acima, temos: 30 = 135√(9+4²)ln|4| + K K = 30 - 135√(25)ln|4| K = 30 - 337,5ln(4) Portanto, a função de demanda é: P(x) = 135√(9+x²)ln|x| + 30 - 337,5ln(4) (b) Para encontrar a demanda para um preço unitário de R$ 20,00, precisamos resolver a equação P(x) = 20. Temos: 135√(9+x²)ln|x| + 30 - 337,5ln(4) = 20 135√(9+x²)ln|x| = 307,5ln(4) - 10 √(9+x²)ln|x| = (307,5ln(4) - 10)/135 9+x² = exp[((307,5ln(4) - 10)/135)²] x² = exp[((307,5ln(4) - 10)/135)²] - 9 x ≈ 2,77 Portanto, a demanda para um preço unitário de R$ 20,00 é de aproximadamente 277 unidades.