A taxa de variação do preço P (em reais) de um produto é dado por d/p = -135x/√9+x², em que x é a demanda do produto do produto.

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento Cálculo Diferencial e Integral.

Neste contexto, sabemos que a taxa de variação do preço \(P\) é dada pela expressão \(dP(x)=\dfrac{-135x}{\sqrt{9+x^2}}\), em que \(x\) é a demanda do produto em centenas de unidades. Assim, para encontrar o valor do preço do produto, é necessário integrar tal expressão:

\(\begin{align} P(x)&=\int dP(x)dx \\&=\int \dfrac{-135x}{\sqrt{(9+x)^2}}dx \\&=-135\cdot\int \dfrac{x}{\sqrt{9+x^2}} dx \\&=-135\cdot\int \dfrac{x}{\sqrt{(x-3)^2}}dx \\&=-135\cdot\int \dfrac{x}{x-3}dx \\&=-135\cdot \left(\sqrt{x^2+9}+c_1\right) \\&=-135\cdot \sqrt{x^2+9}+c, \text{ } c\in \mathbb R \end{align}\)

Sabendo que \(P(4)=30\) , basta isolar \(c\) para calcular seu valor:

\(\begin{align} c&=135\cdot \sqrt{4^2+9}+30 \\&=135\cdot \sqrt{16+9}+30 \\&=135\cdot \sqrt{25}+30 \\&=135\cdot 5+30 \\&=705 \end{align}\)

Portanto, tem-se que a função do preço é \(P(x)=-135\cdot \sqrt{x^2+9}+705\)

Assim, para \(300 \) unidades (\(x=3\)), calcula-se o preço e a variação do preço do produto:

\(\begin{align} P(3)&=-135\cdot \sqrt{3^2+9}+705 \\&=-135\cdot \sqrt{9+9}+705 \\&=-135\cdot \sqrt{18}+705 \\&=\text{R}$\text{ }132,24 \end{align}\)

\(\begin{align} dP(3)&=\dfrac{-135\cdot 3}{\sqrt{9+3^2}} \\&=\dfrac{-405}{\sqrt{18}} \\&=\text{R}$\text{ } 95,45 \end{align}\)

Logo, o produto varia entre \(\text{R}$\text{ }132,24-\text{R}$\text{ }95,45=\text{R}$\text{ }36,79\) e \(\text{R}$\text{ }132,24+\text{R}$\text{ }95,45=\text{R}$\text{ }227,69\)

Portanto, para a demanda de \(300 \) unidades, o preço do produto está compreendido entre \(\boxed{\text{R}$\text{ }36,79}\) e \(\boxed{\text{R}$\text{ }227,69}\).