1.      Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que se a1, a2, ..., an    e  b1, b2, ..., bn     são números reais, então ...

A desigualdade de Cauchy-Schwarz afirma que, para quaisquer números reais a1, a2, ..., an e b1, b2, ..., bn, temos: (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a1² + a2² + ... + an²)(b1² + b2² + ... + bn²) Usando essa desigualdade, podemos provar que: (a1² + a2² + ... + an²)(b1² + b2² + ... + bn²) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² Para provar isso, basta notar que a expressão (a1² + a2² + ... + an²)(b1² + b2² + ... + bn²) é sempre não negativa, enquanto que a expressão (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² é o quadrado de um número real, e portanto também não negativa. Portanto, a desigualdade é verdadeira. A igualdade ocorre se, e somente se, os vetores (a1, a2, ..., an) e (b1, b2, ..., bn) forem linearmente dependentes, ou seja, se existir um número real positivo k tal que bi = ka1 para todo i.