1.     Resolva os seguintes problemas: Se a1/b1, a2/b2, ..., an/bn são frações com bi > 0 para i = 1,2, ..., n, prove que a fração (a1 + a2 + ... ...

Para provar que a fração (a1 + a2 + ... + an) / (b1 + b2 + ... + bn) é um número entre a menor e a maior dessas frações, podemos usar o fato de que a média aritmética está entre o menor e o maior valor de um conjunto de números. Assim, podemos escrever: a1/b1 ≤ (a1 + a2 + ... + an) / n / b1/b1 ≤ (a1 + a2 + ... + an) / (b1 + b2 + ... + bn) ≤ (a1 + a2 + ... + an) / n / b1/b1 Onde a primeira desigualdade vem do fato de que a1/b1 é o menor valor possível e a segunda desigualdade vem do fato de que a1/b1 é o maior valor possível. Multiplicando as desigualdades por b1, b2, ..., bn e somando, obtemos: a1 + a2 + ... + an ≤ (a1 + a2 + ... + an) / (b1 + b2 + ... + bn) (b1 + b2 + ... + bn) ≤ a1 + a2 + ... + an O que mostra que a fração (a1 + a2 + ... + an) / (b1 + b2 + ... + bn) está entre a menor e a maior dessas frações.