1.      Prove que, para todos  reais positivos, tem-se 1/ (a3 + b3 + abc) + 1/ (b3 + c3 + abc) + 1/ (c3 + a3 + abc) ≤ 1/abc   ...

Essa é uma questão de matemática que envolve inequações. Para provar que a desigualdade é verdadeira, podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Começamos por aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para os denominadores da expressão: [(a³ + b³ + abc) + (b³ + c³ + abc) + (c³ + a³ + abc)] [(1/(a³ + b³ + abc)) + (1/(b³ + c³ + abc)) + (1/(c³ + a³ + abc))] ≥ (1+1+1)² Simplificando a expressão, temos: [2(a³ + b³ + c³) + 3abc] [(1/(a³ + b³ + abc)) + (1/(b³ + c³ + abc)) + (1/(c³ + a³ + abc))] ≥ 9 Agora, aplicamos a desigualdade sugerida na questão: a³ + b³ ≥ ab(a+b) a³ + b³ + c³ ≥ ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) Substituindo na primeira expressão, temos: 2(a³ + b³ + c³) + 3abc ≥ 2(ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)) + 3abc Simplificando, temos: 2(a³ + b³ + c³) ≥ 2(ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)) Dividindo por abc, temos: 2(a²/ bc + b²/ ac + c²/ ab) ≥ 2(a/b + b/c + c/a) Simplificando, temos: a²/ bc + b²/ ac + c²/ ab ≥ a/b + b/c + c/a Substituindo na expressão inicial, temos: 1/ (a³ + b³ + abc) + 1/ (b³ + c³ + abc) + 1/ (c³ + a³ + abc) ≤ (a/b + b/c + c/a)/abc Multiplicando ambos os lados por abc, temos: 1/ (a³ + b³ + abc) + 1/ (b³ + c³ + abc) + 1/ (c³ + a³ + abc) ≤ (a²c + b²a + c²b)/ (abc)² Portanto, provamos que: 1/ (a³ + b³ + abc) + 1/ (b³ + c³ + abc) + 1/ (c³ + a³ + abc) ≤ (a²c + b²a + c²b)/ (abc)² que é equivalente à desigualdade proposta na questão.