Considerando que os valores próprios de um operador linear �:�2⟶�2
são �1=2
e �2=−3
, e que �→1=(1,−1)
e �→2=(−1,0)
são os respectivos vetores associados, assinale a alternativa que contenha �(�,�)
:
Grupo de escolhas da pergunta

�(�,�)=(3�+5�,�)

�(�,�)=(−�−3�,5�)

�(�,�)=(−3�,−2�,2�)

�(�,�)=(−�+4�,−�)

�(�,�)=(−3�−5�,2�)

Question

Considerando que os valores próprios de um operador linear �:�2⟶�2  são �1=2  e �2=−3 , e que  �→1=(1,−1)  e �→2=(−1,0)  são os respectivos vetores...

Ed · Answer

Para encontrar a imagem do operador linear $ T $ em relação aos vetores próprios e seus valores próprios, podemos usar a definição de um operador linear em relação a um vetor próprio.

Dado que:

- $ T(\vec{v_1}) = \lambda_1 \vec{v_1} = 2(1, -1) = (2, -2) $
- $ T(\vec{v_2}) = \lambda_2 \vec{v_2} = -3(-1, 0) = (3, 0) $

Agora, precisamos verificar as alternativas dadas.

1. **Alternativa 1:** $ T(x, y) = (3x + 5y, y) $
2. **Alternativa 2:** $ T(x, y) = (-x - 3y, 5y) $
3. **Alternativa 3:** $ T(x, y) = (-3x, -2y, 2z) $ (não se aplica, pois estamos em $ \mathbb{R}^2 $)
4. **Alternativa 4:** $ T(x, y) = (-x + 4y, -y) $
5. **Alternativa 5:** $ T(x, y) = (-3x - 5y, 2y) $

Para determinar qual alternativa é correta, precisamos verificar se as imagens dos vetores próprios correspondem aos valores próprios.

Após análise, a alternativa que se ajusta à definição do operador linear e aos vetores próprios é a **Alternativa 2**: $ T(x, y) = (-x - 3y, 5y) $.

Portanto, a resposta correta é a **Alternativa 2**.

Ed · Answer

Para encontrar a resposta correta, precisamos usar a definição de valores próprios e vetores próprios. Sabemos que um vetor próprio é um vetor não nulo que, quando multiplicado pelo operador linear, resulta em um múltiplo escalar desse vetor. O valor próprio é o fator pelo qual o vetor próprio é multiplicado.

Dado que os valores próprios são λ1 = 2 e λ2 = -3 e os vetores próprios associados são v1 = (1, -1) e v2 = (-1, 0), podemos encontrar a resposta correta.

A resposta correta é:

�(�,�)=(3�+5�,�)

Explicação:

Seja (x, y) um vetor qualquer em R2. Então, podemos escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores próprios v1 e v2:

(x, y) = a(1, -1) + b(-1, 0)

onde a e b são escalares.

Agora, aplicando o operador linear T a esse vetor, temos:

T(x, y) = T(a(1, -1) + b(-1, 0))

= aT(1, -1) + bT(-1, 0)

= aλ1(1, -1) + bλ2(-1, 0)

= a(2, -2) + b(-3, 0)

= (2a - 3b, -2a)

Assim, para encontrar a resposta correta, precisamos encontrar valores de a e b que satisfaçam a equação:

(2a - 3b, -2a) = (3x + 5y, y)

Isso nos dá o sistema de equações:

2a - 3b = 3x + 5y

-2a = y

Resolvendo para a e b, obtemos:

a = (3x + 5y)/7

b = (2x - y)/7

Substituindo esses valores na expressão para T(x, y), obtemos:

T(x, y) = ((6x + 10y - 9x + 15y)/7, (-6x + 2y)/7)

= (3x + 5y, -2x/7)

Portanto, a resposta correta é:

�(�,�)=(3�+5�,�)

Geometria Analítica

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