Questão 4 Determine a aproximação linear da função f(x, y) = √ 20− x2 − 7y2 no ponto (2, 1) e use-a para encontrar valores aproximados para f(1.95...

Para determinar a aproximação linear da função f(x, y) = √(20 - x² - 7y²) no ponto (2, 1), precisamos calcular o gradiente da função no ponto (2, 1). O gradiente é dado por: ∇f(x, y) = (-2x/√(20 - x² - 7y²), -14y/√(20 - x² - 7y²)) Substituindo x = 2 e y = 1, temos: ∇f(2, 1) = (-4/3, -14/3) A aproximação linear da função f(x, y) no ponto (2, 1) é dada por: L(x, y) = f(2, 1) + ∇f(2, 1) · (x - 2, y - 1) L(x, y) = √(20 - 4 - 7) - 4/3(x - 2) - 14/3(y - 1) L(x, y) = √9 - 4/3(x - 2) - 14/3(y - 1) L(x, y) = 3 - 4/3(x - 2) - 14/3(y - 1) Para encontrar o valor aproximado de f(1.95, 1.08) utilizando a aproximação linear, basta substituir x = 1.95 e y = 1.08 em L(x, y): L(1.95, 1.08) = 3 - 4/3(1.95 - 2) - 14/3(1.08 - 1) L(1.95, 1.08) = 3 + 4/3(0.05) - 14/3(0.08) L(1.95, 1.08) = 2.998 Para encontrar o valor exato de f(1.95, 1.08) utilizando uma calculadora, basta substituir x = 1.95 e y = 1.08 em f(x, y): f(1.95, 1.08) = √(20 - 1.95² - 7(1.08)²) f(1.95, 1.08) = √(20 - 3.8025 - 6.8592) f(1.95, 1.08) = √9.3383 f(1.95, 1.08) = 3.0566 (aproximadamente)