Questão 4 Determine a aproximação linear da função f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2 no ponto (2, 1)

e use-a para encontrar valores aproximados para f(1.95 , 1.08). Usando uma calculadora, obtenha
também o valor exato para f(1.95 , 1.08).

Determinar a aproximação linear da função f(x, y) = √(20 - x² - 7y²) no ponto (2, 1).
Encontrar o valor aproximado de f(1.95, 1.08) utilizando a aproximação linear.
Encontrar o valor exato de f(1.95, 1.08) utilizando uma calculadora.

Question

Questão 4 Determine a aproximação linear da função f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2 no ponto (2, 1)

e use-a para encontrar valores aproximados para f(1.95...

Ed · Answer

Para determinar a aproximação linear da função $ f(x, y) = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2} $ no ponto $ (2, 1) $, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Calcular $ f(2, 1) $**:
   $$
   f(2, 1) = \sqrt{20 - 2^2 - 7 \cdot 1^2} = \sqrt{20 - 4 - 7} = \sqrt{9} = 3
   $$

2. **Calcular as derivadas parciais**:
   - Derivada parcial em relação a $ x $:
   $$
   f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{20 - x^2 - 7y^2}}
   $$
   - Derivada parcial em relação a $ y $:
   $$
   f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-7y}{\sqrt{20 - x^2 - 7y^2}}
   $$

3. **Avaliar as derivadas parciais no ponto $ (2, 1) $**:
   - Para $ f_x(2, 1) $:
   $$
   f_x(2, 1) = \frac{-2}{\sqrt{9}} = -\frac{2}{3}
   $$
   - Para $ f_y(2, 1) $:
   $$
   f_y(2, 1) = \frac{-7 \cdot 1}{\sqrt{9}} = -\frac{7}{3}
   $$

4. **Montar a aproximação linear**:
   A fórmula da aproximação linear é:
   $$
   L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   L(x, y) = 3 - \frac{2}{3}(x - 2) - \frac{7}{3}(y - 1)
   $$

5. **Encontrar $ L(1.95, 1.08) $**:
   $$
   L(1.95, 1.08) = 3 - \frac{2}{3}(1.95 - 2) - \frac{7}{3}(1.08 - 1)
   $$
   $$
   = 3 - \frac{2}{3}(-0.05) - \frac{7}{3}(0.08)
   $$
   $$
   = 3 + \frac{0.1}{3} - \frac{0.56}{3}
   $$
   $$
   = 3 + \frac{0.1 - 0.56}{3} = 3 - \frac{0.46}{3} \approx 3 - 0.1533 \approx 2.8467
   $$

6. **Calcular o valor exato de $ f(1.95, 1.08) $**:
   Usando uma calculadora:
   $$
   f(1.95, 1.08) = \sqrt{20 - (1.95)^2 - 7(1.08)^2}
   $$
   $$
   \approx \sqrt{20 - 3.8025 - 8.1888} \approx \sqrt{8.0087} \approx 2.83
   $$

Portanto, a aproximação linear $ L(1.95, 1.08) $ é aproximadamente $ 2.8467 $ e o valor exato $ f(1.95, 1.08) $ é aproximadamente $ 2.83 $.

Ed · Answer

Para determinar a aproximação linear da função f(x, y) = √(20 - x² - 7y²) no ponto (2, 1), precisamos calcular o gradiente da função no ponto (2, 1). O gradiente é dado por:

∇f(x, y) = (-2x/√(20 - x² - 7y²), -14y/√(20 - x² - 7y²))

Substituindo x = 2 e y = 1, temos:

∇f(2, 1) = (-4/3, -14/3)

A aproximação linear da função f(x, y) no ponto (2, 1) é dada por:

L(x, y) = f(2, 1) + ∇f(2, 1) · (x - 2, y - 1)

L(x, y) = √(20 - 4 - 7) - 4/3(x - 2) - 14/3(y - 1)

L(x, y) = √9 - 4/3(x - 2) - 14/3(y - 1)

L(x, y) = 3 - 4/3(x - 2) - 14/3(y - 1)

Para encontrar o valor aproximado de f(1.95, 1.08) utilizando a aproximação linear, basta substituir x = 1.95 e y = 1.08 em L(x, y):

L(1.95, 1.08) = 3 - 4/3(1.95 - 2) - 14/3(1.08 - 1)

L(1.95, 1.08) = 3 + 4/3(0.05) - 14/3(0.08)

L(1.95, 1.08) = 2.998

Para encontrar o valor exato de f(1.95, 1.08) utilizando uma calculadora, basta substituir x = 1.95 e y = 1.08 em f(x, y):

f(1.95, 1.08) = √(20 - 1.95² - 7(1.08)²)

f(1.95, 1.08) = √(20 - 3.8025 - 6.8592)

f(1.95, 1.08) = √9.3383

f(1.95, 1.08) = 3.0566 (aproximadamente)

Matemática

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Questão 7 Determine a diferencial total das funções abaixo.

(a) z(x, y) = x3 ln(y2)

(b) w(x, y, z) =
x

1 + xyz

Determinar a diferencial total da função z(x, y) = x³ln(y²).
Determinar a diferencial total da função w(x, y, z) = x / (1 + xyz).

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