Questão 5 Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 no ponto (3, 2, 6)

e use-a para encontrar valores aproximados para
√
(3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2. Usando uma calcula-
dora, obtenha também o valor exato

Determinar a aproximação linear da função f(x, y, z) = √(x² + y² + z²) no ponto (3, 2, 6).
Encontrar o valor aproximado de √(3.02² + 1.97² + 5.99²) utilizando a aproximação linear.
Encontrar o valor exato de √(3.02² + 1.97² + 5.99²) utilizando uma calculadora.

Question

Questão 5 Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 no ponto (3, 2, 6)

e use-a para encontrar valores aproximados para
...

Ed · Answer

Para determinar a aproximação linear da função f(x, y, z) = √(x² + y² + z²) no ponto (3, 2, 6), precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado. O gradiente é dado por:

∇f(x, y, z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) = (x/√(x² + y² + z²), y/√(x² + y² + z²), z/√(x² + y² + z²))

Agora, podemos calcular o valor do gradiente no ponto (3, 2, 6):

∇f(3, 2, 6) = (3/7, 2/7, 6/7)

A aproximação linear da função f(x, y, z) no ponto (3, 2, 6) é dada por:

f(x, y, z) ≈ f(3, 2, 6) + ∇f(3, 2, 6) · (x - 3, y - 2, z - 6)

Substituindo os valores, temos:

f(x, y, z) ≈ √(3² + 2² + 6²) + (3/7, 2/7, 6/7) · (x - 3, y - 2, z - 6)

Simplificando, temos:

f(x, y, z) ≈ √49 + (3/7)(x - 3) + (2/7)(y - 2) + (6/7)(z - 6)

f(x, y, z) ≈ 7 + (3/7)(x - 3) + (2/7)(y - 2) + (6/7)(z - 6)

Agora, podemos usar a aproximação linear para encontrar o valor aproximado de √(3.02² + 1.97² + 5.99²):

√(3.02² + 1.97² + 5.99²) ≈ 7 + (3/7)(0.02) + (2/7)(-0.03) + (6/7)(-0.01)

√(3.02² + 1.97² + 5.99²) ≈ 7 + 0.00857 - 0.00857 - 0.00571

√(3.02² + 1.97² + 5.99²) ≈ 7 + 0.00029

√(3.02² + 1.97² + 5.99²) ≈ 7.00029

Para encontrar o valor exato de √(3.02² + 1.97² + 5.99²), podemos usar uma calculadora:

√(3.02² + 1.97² + 5.99²) ≈ 7.00029 (valor aproximado encontrado anteriormente)

Matemática

Lista 18 - Plano tangente, aproximação linear e diferenciais

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

Lista 18 - Plano tangente, aproximação linear e diferenciais

Questão 2 Obtenha equações para os planos tangentes à superfície z = 2x2 + xy2 nos pontos A =

(1, 1, 3) e B = (−1, 2,−2).

Determinar a equação do plano tangente no ponto A = (1, 1, 3).
Determinar a equação do plano tangente no ponto B = (-1, 2, -2).

Questão 7 Determine a diferencial total das funções abaixo.

(a) z(x, y) = x3 ln(y2)

(b) w(x, y, z) =
x

1 + xyz

Determinar a diferencial total da função z(x, y) = x³ln(y²).
Determinar a diferencial total da função w(x, y, z) = x / (1 + xyz).

Questão 8 Se z = 5x2+y2 e (x, y) varia de (3,−1) para (2.96,−0.95), obtenha e compare os valores
de ∆z e dz.

Obter o valor de ∆z.
Obter o valor de dz.
Comparar os valores de ∆z e dz.

Mais conteúdos dessa disciplina

Matemática

Lista 18 - Plano tangente, aproximação linear e diferenciais

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

Lista 18 - Plano tangente, aproximação linear e diferenciais

Questão 2 Obtenha equações para os planos tangentes à superfície z = 2x2 + xy2 nos pontos A =(1, 1, 3) e B = (−1, 2,−2).Determinar a equação do plano tangente no ponto A = (1, 1, 3).Determinar a equação do plano tangente no ponto B = (-1, 2, -2).

Questão 7 Determine a diferencial total das funções abaixo.(a) z(x, y) = x3 ln(y2)(b) w(x, y, z) =x1 + xyzDeterminar a diferencial total da função z(x, y) = x³ln(y²).Determinar a diferencial total da função w(x, y, z) = x / (1 + xyz).

Questão 8 Se z = 5x2+y2 e (x, y) varia de (3,−1) para (2.96,−0.95), obtenha e compare os valoresde ∆z e dz.Obter o valor de ∆z.Obter o valor de dz.Comparar os valores de ∆z e dz.

Mais conteúdos dessa disciplina

Questão 2 Obtenha equações para os planos tangentes à superfície z = 2x2 + xy2 nos pontos A =

(1, 1, 3) e B = (−1, 2,−2).

Determinar a equação do plano tangente no ponto A = (1, 1, 3).
Determinar a equação do plano tangente no ponto B = (-1, 2, -2).

Questão 7 Determine a diferencial total das funções abaixo.

(a) z(x, y) = x3 ln(y2)

(b) w(x, y, z) =
x

1 + xyz

Determinar a diferencial total da função z(x, y) = x³ln(y²).
Determinar a diferencial total da função w(x, y, z) = x / (1 + xyz).

Questão 8 Se z = 5x2+y2 e (x, y) varia de (3,−1) para (2.96,−0.95), obtenha e compare os valores
de ∆z e dz.

Obter o valor de ∆z.
Obter o valor de dz.
Comparar os valores de ∆z e dz.