Questão 6 Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização L(x, y) naquele ponto. (a) f(x, y) = x3y4, ponto (1...

Para verificar se a função é diferenciável no ponto indicado, é necessário verificar se as derivadas parciais da função existem e são contínuas naquele ponto. (a) Para a função f(x, y) = x³y⁴, temos: f(x, y) = x³y⁴ fx(x, y) = 3x²y⁴ fy(x, y) = 4x³y³ Substituindo o ponto (1, 4), temos: f(1, 4) = 1³4⁴ = 256 fx(1, 4) = 3(1²)(4⁴) = 768 fy(1, 4) = 4(1³)(4³) = 256 Como as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto (1, 4), a função é diferenciável neste ponto. Para encontrar a linearização L(x, y) da função f(x, y) = x³y⁴ no ponto (1, 4), podemos utilizar a fórmula: L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) Substituindo os valores, temos: L(x, y) = f(1, 4) + fx(1, 4)(x - 1) + fy(1, 4)(y - 4) L(x, y) = 256 + 768(x - 1) + 256(y - 4) L(x, y) = 768x + 256y - 1792 (b) Para a função f(x, y) = e^(-xy)cos(y), temos: f(x, y) = e^(-xy)cos(y) fx(x, y) = -ye^(-xy)cos(y) fy(x, y) = -xe^(-xy)sen(y) + e^(-xy)cos(y) Substituindo o ponto (π, 0), temos: f(π, 0) = e^(-π*0)cos(0) = 1 fx(π, 0) = -0*cos(0) = 0 fy(π, 0) = -π*e^(-π*0)*sen(0) + e^(-π*0)*cos(0) = 1 Como as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto (π, 0), a função é diferenciável neste ponto. Para encontrar a linearização L(x, y) da função f(x, y) = e^(-xy)cos(y) no ponto (π, 0), podemos utilizar a fórmula: L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) Substituindo os valores, temos: L(x, y) = f(π, 0) + fx(π, 0)(x - π) + fy(π, 0)(y - 0) L(x, y) = 1 + 0(x - π) + 1(y - 0) L(x, y) = y + 1