Seja xn > 0, sn = ∑n i=1 xi e ∑∞ n=1 xn diverge. Prove que: 1 2 1A LISTA DO CURSO DE ANÁLISE 1 (a) ∑∞ n=1 xn 1+xn diverge. (b) ∑k i=1 xn+...

Para provar que a série ∑∞n=1 xn/(1+xn) diverge, podemos usar o critério de comparação. Como a série ∑∞n=1 xn diverge, podemos afirmar que xn → 0 quando n → ∞. Assim, para n suficientemente grande, temos que xn < 1 e, portanto, 1/(1+xn) > 1/2. Logo, para n suficientemente grande, temos que xn/(1+xn) > xn/2. Como a série ∑∞n=1 xn/2 diverge, podemos concluir que a série ∑∞n=1 xn/(1+xn) também diverge pelo critério de comparação. Para provar que a série ∑k i=1 xn+i/sni ≥ 1 - sn+k, podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Temos que: (sni)² = (∑j=1ni xj)² ≤ (∑j=1ni 1)(∑j=1ni xj²) Assim, temos que: sni ≤ √(ni) √(∑j=1ni xj²) Dividindo ambos os lados por sn+k e elevando ao quadrado, obtemos: (xn+1/sn+1)² + ... + (xn+k/sn+k)² ≥ (sn/sn+k)² (1 - sn+k) Como a série ∑∞n=1 xn diverge, temos que xn → 0 quando n → ∞. Assim, para n suficientemente grande, temos que xn < 1 e, portanto, sn < 2s2n. Logo, para n suficientemente grande, temos que sn/sn+k > 1/2 e, portanto, (sn/sn+k)² > 1/4. Assim, para n suficientemente grande, temos que: (xn+1/sn+1)² + ... + (xn+k/sn+k)² ≥ (1/4) (1 - sn+k) Como a série ∑∞n=1 (1 - sn+k) diverge, podemos concluir que a série ∑k i=1 xn+i/sni também diverge pelo critério de comparação. Para provar que a série ∑∞n=1 xn/snn diverge, podemos usar o critério da razão. Temos que: lim n→∞ |(xn+1/snn+1)/(xn/snn)| = lim n→∞ (1+xn+1/xn)/(sn+1/sn) Como a série ∑∞n=1 xn diverge, temos que xn → 0 quando n → ∞. Assim, para n suficientemente grande, temos que xn+1 < 2xn e, portanto, 1+xn+1/xn < 3. Além disso, temos que sn+1/sn → 1 quando n → ∞. Assim, para n suficientemente grande, temos que: |(xn+1/snn+1)/(xn/snn)| < 3 Logo, a série ∑∞n=1 xn/snn diverge pelo critério da razão.