Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120°, então o p...

Pelo teorema do cosseno, temos que: a² = b² + c² - 2bc.cos(Â) Como os comprimentos dos lados formam uma PA, podemos escrever: b = a - r c = a + r Onde "r" é a razão da PA. Substituindo na fórmula do perímetro, temos: a + (a - r) + (a + r) = 15 3a = 15 a = 5 Substituindo na fórmula do cosseno, temos: a² = b² + c² - 2bc.cos(Â) 5² = (a - r)² + (a + r)² - 2(a - r)(a + r).cos(120°) 25 = 2a² + 2r² - 2ar.cos(120°) 25 = 2.5² + 2r² - 2.5r.(-1/2) 25 = 25/2 + 2r² + 5r/2 2r² + 5r/2 - 25/2 = 0 4r² + 5r - 25 = 0 (r - 1)(4r + 25) = 0 Como r > 0, temos r = 1. Substituindo na fórmula do cosseno, temos: a² = b² + c² - 2bc.cos(Â) 5² = (a - 1)² + (a + 1)² - 2(a - 1)(a + 1).cos(120°) 25 = 2a² + 2 - 2a² a² = 12 a = √12 = 2√3 O produto dos comprimentos dos lados é: a.b.c = a(a - r)(a + r) = 2√3.(2√3 - 1).(2√3 + 1) = 12(8 - 1) = 84 Portanto, o produto dos comprimentos dos lados é 84.