Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b2, c4, d140− formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então,...

Podemos utilizar as informações dadas para montar um sistema de equações e encontrar o valor de db-. Sabemos que a, b, c, d formam uma progressão geométrica, então temos: b/a = c/b = d/c Podemos reescrever essa equação como: b^2 = ac c^2 = bd Também sabemos que a, b^2, c^4, d^140- formam uma progressão aritmética, então temos: b^2 - a = c^4 - b^2 = d^140- - c^4 Podemos reescrever essa equação como: b^2 - a = c^4 - b^2 c^4 - b^2 = d^140- - c^4 Substituindo as equações de b^2 e c^4 que encontramos anteriormente, temos: ac - a = bd - ac bd - ac = d^140- - (ac) Simplificando, temos: ac = (bd + d^140-)/2 Substituindo a primeira equação de b^2 que encontramos, temos: ac = (b^2d + d^140-)/2 Substituindo a segunda equação de c^4 que encontramos, temos: ac = (b^2d + (bd)^2)/2 Substituindo a primeira equação de b^2 que encontramos novamente, temos: a(bd) = (b^2d + (bd)^2)/2 Simplificando, temos: 2a = b + bd Substituindo a primeira equação de b^2 que encontramos mais uma vez, temos: 2a = b + b^3/a Multiplicando ambos os lados por a, temos: 2a^2 = ab + b^3 Substituindo a primeira equação de b^2 que encontramos pela última vez, temos: 2a^2 = ac Substituindo a primeira equação de b^2 que encontramos mais uma vez, temos: 2a^2 = b^2d Substituindo a segunda equação de c^4 que encontramos, temos: 2a^2 = bd^2 Substituindo a primeira equação de b^2 que encontramos pela última vez, temos: 2a^2 = a^2d^2 Simplificando, temos: 2 = d^2 Portanto, d = sqrt(2). Substituindo d na equação c^2 = bd que encontramos anteriormente, temos: c^2 = b(sqrt(2)) Substituindo c^2 na equação b^2 = ac que encontramos anteriormente, temos: b^2 = a(sqrt(2))^3 Substituindo b^2 na equação ac = (b^2d + d^140-)/2 que encontramos anteriormente, temos: a(sqrt(2))^3 * a = (a(sqrt(2))^6 + (sqrt(2))^140-)/2 Simplificando, temos: a^2 = (sqrt(2))^140- / (sqrt(2))^3 + (sqrt(2))^3 a^2 = (sqrt(2))^137- Substituindo a em 2a^2 = b^2d, temos: 2(sqrt(2))^137- = b^2(sqrt(2)) Simplificando, temos: b = 2(sqrt(2))^68- Substituindo b em c^2 = b(sqrt(2)), temos: c = 2(sqrt(2))^34- Finalmente, substituindo a, b, c e d na equação db-, temos: db- = (2(sqrt(2))^68- * 2(sqrt(2))^34- - 2(sqrt(2))^137-)/2 db- = (2(sqrt(2))^102- - 2(sqrt(2))^137-)/2 db- = (2(sqrt(2))^102- - (sqrt(2))^140-) Portanto, a alternativa correta é a letra A) 140-.