O ponto simétrico de P = ( 1,9,4) em relação ao plano r : x - y + z - 2 = 0 é P' = ( m, n, p ) . Quanto vale m + n + p ?

Para encontrar o ponto simétrico de P em relação ao plano r, precisamos encontrar a projeção ortogonal de P no plano r. Primeiro, encontramos o vetor normal do plano r, que é dado pelos coeficientes da equação do plano: n = (1, -1, 1). Em seguida, encontramos o vetor que liga P ao plano r, que é dado por P - Q, onde Q é um ponto qualquer pertencente ao plano r. Podemos escolher, por exemplo, Q = (0, 0, 2). Então, temos: PQ = (1, 9, 4) - (0, 0, 2) = (1, 9, 2) A projeção ortogonal de PQ no vetor normal n é dada por: projn(PQ) = ((PQ . n) / ||n||^2) * n onde . representa o produto escalar e ||n|| é a norma do vetor n. Substituindo os valores, temos: projn(PQ) = ((1, 9, 2) . (1, -1, 1)) / (1^2 + (-1)^2 + 1^2) * (1, -1, 1) projn(PQ) = (1 - 9 + 2) / 3 * (1, -1, 1) projn(PQ) = (-2/3, 2/3, -2/3) Finalmente, o ponto simétrico P' é dado por: P' = Q + projn(PQ) = (0, 0, 2) + (-2/3, 2/3, -2/3) = (-2/3, 2/3, 4/3) Portanto, m + n + p = -2/3 + 2/3 + 4/3 = 2. A resposta é 2.