1-Achar o ponto P`simétrico de P=(2,2,-1) em relação ao plano s:x-z+3=0

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\[d(P, s) = d(P',s) \ \ \ \ (I)\]

Vamos, primeiro, determinar a projeção \(P_s\) de \(P\) em \(s\). Para isso, vamos encontrar a equação da reta normal que liga o plano \(s\) ao ponto \(P\):

Temos que o vetor normal de \(s\) é dado por \(t(1,0,-1)\), em que \(t\) é um parâmetro real. Logo, a equação da reta normal ao plano que passa por \(P\) é:

\[(x,y,z) = (2,2,-1) + t(1,0,-1)\]

\[(x,y,z) = (2+t,2,-1-t)\]

A projeção de \(P\) em \(s\) pertence ao mesmo tempo à reta perpendicular encontrada e ao plano e, portanto, tem de satisfazer as duas equações. Logo, vamos substituir os parâmetros encontrados para a reta perpendicular na equação geral do plano:

\[x -z+3 = 0\]

\[(2+t) -(-1-t)+3 = 0\]

\[2t +6 = 0\]

\[t = -3\]

Portanto, o ponto \(P_s\) projeção de \(P\) em \(s\) será:

\[P_s = (2+(-3),2,-1-(-3)) = (-1,2,2)\]

Voltando à relação \((I)\), temos:

\[d(P, s) = d(P',s)\]

A distância de \(P\) ao plano \(s\) será a mesma distância entre \(P\) e a projeção \(P_s\). O mesmo vale para o ponto simétrico \(P'\). Logo:

\[d(P, P_s) = d(P',P_s)\]

\[\sqrt{[2-(-1)]^2+(2-2)^2+(-1-2)^2} = \sqrt{[x - (-1)]^2+(y -2)^2+(z-2)^2}\]

Como \(P'\) pertence à reta perpendicular ao plano encontrada anteriormente, podemos substituir as variáveis \(x\), \(y\) e \(z\) pelos parâmetros:

\[\sqrt{[2-(-1)]^2+(2-2)^2+(-1-2)^2} = \sqrt{[(2+t) - (-1)]^2+(2 -2)^2+[(-1-t)-2]^2}\]

\[\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2} = \sqrt{[(3+t)]^2+0^2+(-3-t)^2}\]

\[\sqrt{18} = \sqrt{2t^2+12t+18}\]

\[2t^2+12t = 0\]

\[t^2+6t = 0\]

\[t(t+6) = 0\]

\[t = 0 \ \ ou \ \ t = -6\]

Tomamos \(t=-6\), já que o valor de \(t=0\) já corresponde ao ponto \(P\) conhecido. Substituindo na equação da reta perpendicular:

\[(x,y,z) = (2+t,2,-1-t)\]

\[P' = (2+(-6),2,-1-(-6))\]

\[P' = (2-6,2,-1+6)\]

\[P' =(-4,2,5)\]