Seja C a curva parametrizada por ~r(t) = (sen(2t), sen2(2t)) com t ∈ [−π/4, π/4]. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o...

A curva C é dada por ~r(t) = (sen(2t), sen²(2t)) com t ∈ [−π/4, π/4]. Para mostrar que esta curva representa um arco de parábola, precisamos encontrar uma equação que satisfaça a forma y = ax² + bx + c. Derivando ~r(t), temos: ~r'(t) = (2cos(2t), 4sen(2t)cos(2t)) Calculando a segunda derivada, temos: ~r''(t) = (-4sen(2t), 8cos²(2t) - 4sen²(2t)) Agora, vamos calcular a equação da curva: y = sen²(2t) x = sen(2t) Substituindo x em termos de t, temos: x = sen(2t) = 2sen(t)cos(t) Substituindo y em termos de t, temos: y = sen²(2t) = 2sen²(t)cos²(t) Dividindo y por x², temos: y/x² = 2sen²(t)cos²(t)/(2sen²(t)cos²(t)) = 1/cos²(t) Substituindo cos(t) por x/2, temos: y/x² = 1/(x²/4) = 4/x² Portanto, a equação da curva é y = 4/x², que é a equação de uma parábola. Os pontos iniciais e finais da curva C são (-1, 0) e (1, 0), respectivamente. Para desenhar o gráfico, podemos usar um software de plotagem ou fazer uma tabela de valores e desenhar à mão.