Seja ~r(u) = (x1(u), . . . , xn(u)) um campo vetorial cont́ınuo em u0 = u(t0) e seja u(t) um campo escalar cont́ınuo em t0. Mostre que a composiça...

Para mostrar que a composição ~r(u(t)) é um campo vetorial contínuo em t0, precisamos mostrar que ~r(u(t)) é contínuo em t0. Para isso, podemos usar a definição de continuidade de um campo vetorial. Um campo vetorial ~r(u) é contínuo em u0 se, para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se ||u - u0|| < δ, então ||~r(u) - ~r(u0)|| < ε. Agora, vamos aplicar essa definição para mostrar que ~r(u(t)) é contínuo em t0. Seja ε > 0. Como ~r(u) é contínuo em u0 = u(t0), existe um δ > 0 tal que, se ||u - u0|| < δ, então ||~r(u) - ~r(u0)|| < ε. Agora, vamos escolher um δ' > 0 tal que, se |t - t0| < δ', então ||u(t) - u0|| < δ. Isso é possível porque u(t) é contínuo em t0. Assim, se |t - t0| < δ', temos que ||u(t) - u0|| < δ. Portanto, ||~r(u(t)) - ~r(u0)|| < ε. Isso mostra que ~r(u(t)) é contínuo em t0 e, portanto, é um campo vetorial contínuo em t0.