Sejam ~r (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) e ~s(t) = (y1(t), y2(t), y3(t)) campos vetoriais diferenciáveis. Mostre que a derivada do produto vetorial sa...

Para mostrar que a derivada do produto vetorial satisfaz (~r (t)× ~s(t)) = ~r ′(t)× ~s(t) + ~r (t)× ~s ′(t), podemos usar a definição do produto vetorial e a regra do produto para derivadas. A definição do produto vetorial é dada por: ~r (t) × ~s(t) = (x2(t)y3(t) - x3(t)y2(t), x3(t)y1(t) - x1(t)y3(t), x1(t)y2(t) - x2(t)y1(t)) A regra do produto para derivadas é dada por: (fg)' = f'g + fg' Aplicando a regra do produto para derivadas, temos: (~r (t) × ~s(t))' = (x2(t)y3(t) - x3(t)y2(t), x3(t)y1(t) - x1(t)y3(t), x1(t)y2(t) - x2(t)y1(t))' (~r (t) × ~s(t))' = (x2(t)y3(t))' - (x3(t)y2(t))' + (x3(t)y1(t))' - (x1(t)y3(t))' + (x1(t)y2(t))' - (x2(t)y1(t))' (~r (t) × ~s(t))' = x2'(t)y3(t) + x2(t)y3'(t) - x3'(t)y2(t) - x3(t)y2'(t) + x3'(t)y1(t) + x3(t)y1'(t) - x1'(t)y3(t) - x1(t)y3'(t) + x1'(t)y2(t) + x1(t)y2'(t) - x2'(t)y1(t) - x2(t)y1'(t) Agora, podemos usar a definição do produto vetorial novamente para reescrever a expressão acima: (~r (t) × ~s(t))' = (x2'(t)y3(t) - x3'(t)y2(t), x3'(t)y1(t) - x1'(t)y3(t), x1'(t)y2(t) - x2'(t)y1(t)) Finalmente, podemos reescrever a expressão acima usando a definição do produto vetorial e a regra do produto para derivadas: (~r (t) × ~s(t))' = ~r'(t) × ~s(t) + ~r(t) × ~s'(t) Portanto, a derivada do produto vetorial satisfaz (~r (t)× ~s(t)) = ~r ′(t)× ~s(t) + ~r (t)× ~s ′(t).