Seja C uma curva contida no plano z = 0 paretrizada por ~r (t) = (x(t), y(t), 0) com t ∈ [a, b]. Verifique que a definição de curvatura no R3 κ(t...

Para verificar que a definição de curvatura no R3 κ(t) = ‖~r ′(t)× ~r ′′(t)‖/‖~r ′(t)‖3 implica κ(t) = |x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)|/[(x′(t))2 + (y′(t))2]3/2, podemos começar calculando as derivadas de ~r(t): ~r ′(t) = (-a sen(t), a cos(t), 0) ~r ′′(t) = (-a cos(t), -a sen(t), 0) Então, podemos calcular o produto vetorial ~r ′(t)× ~r ′′(t): ~r ′(t)× ~r ′′(t) = (0, 0, a2) E, finalmente, podemos calcular a norma do produto vetorial e a norma de ~r ′(t): ‖~r ′(t)× ~r ′′(t)‖ = a2 ‖~r ′(t)‖ = a Substituindo esses valores na definição de curvatura, obtemos: κ(t) = ‖~r ′(t)× ~r ′′(t)‖/‖~r ′(t)‖3 = a2/a3 = 1/a Agora, podemos calcular a curvatura para cada uma das curvas dadas: (a) Circunferência de raio a parametrizada por ~r(t) = (a cos(t), a sen(t)), t ∈ [0, 2π]: Nesse caso, x(t) = a cos(t) e y(t) = a sen(t), então podemos calcular as derivadas: x′(t) = -a sen(t) y′(t) = a cos(t) x′′(t) = -a cos(t) y′′(t) = -a sen(t) Substituindo na fórmula de curvatura, obtemos: κ(t) = |x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)|/[(x′(t))2 + (y′(t))2]3/2 = a/a = 1/a (b) Elipse de semi-eixos a e b parametrizada por ~r(t) = (a cos(t), b sen(t)), t ∈ [0, 2π]: Nesse caso, x(t) = a cos(t) e y(t) = b sen(t), então podemos calcular as derivadas: x′(t) = -a sen(t) y′(t) = b cos(t) x′′(t) = -a cos(t) y′′(t) = -b sen(t) Substituindo na fórmula de curvatura, obtemos: κ(t) = |x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)|/[(x′(t))2 + (y′(t))2]3/2 = ab/[(a2 sen2(t) + b2 cos2(t))3/2] (c) Arco da parábola parametrizada por ~t = (t, t2), t ∈ [−1, 1]: Nesse caso, x(t) = t e y(t) = t2, então podemos calcular as derivadas: x′(t) = 1 y′(t) = 2t x′′(t) = 0 y′′(t) = 2 Substituindo na fórmula de curvatura, obtemos: κ(t) = |x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)|/[(x′(t))2 + (y′(t))2]3/2 = 2/[(1 + 4t2)3/2] (d) Arco da catenária parametrizada por ~t = (at, a cosh(t)), t ∈ [−1, 1]: Nesse caso, x(t) = at e y(t) = a cosh(t), então podemos calcular as derivadas: x′(t) = a y′(t) = a sinh(t) x′′(t) = 0 y′′(t) = a cosh(t) Substituindo na fórmula de curvatura, obtemos: κ(t) = |x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)|/[(x′(t))2 + (y′(t))2]3/2 = a/[(a2 sinh2(t) + a2 cosh2(t))3/2] = a/[a3 cosh3(t)] (e) Espiral parametrizada por ~r(t) = (t cos(t), t sen(t)), t ∈ [0, 2π]: Nesse caso, x(t) = t cos(t) e y(t) = t sen(t), então podemos calcular as derivadas: x′(t) = cos(t) - t sen(t) y′(t) = sen(t) + t cos(t) x′′(t) = -2 sen(t) - t cos(t) y′′(t) = 2 cos(t) - t sen(t) Substituindo na fórmula de curvatura, obtemos: κ(t) = |x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)|/[(x′(t))2 + (y′(t))2]3/2 = (2t2 + 1)/[(t2 + 1)3/2] (f) Cicloide parametrizada por ~r(t) = (at− a sen(t), a− a cos(t)), t ∈ [0, 2π]: Nesse caso, x(t) = at - a sen(t) e y(t) = a - a cos(t), então podemos calcular as derivadas: x′(t) = a - a cos(t) y′(t) = a sen(t) x′′(t) = a sen(t) y′′(t) = a cos(t) Substituindo na fórmula de curvatura, obtemos: κ(t) = |x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)|/[(x′(t))2 + (y′(t))2]3/2 = a/[a2 + (a - a cos(t))2]3/2 = a/[2a2 - 2a(a cos(t))]3/2 = a/[2a2(1 - cos(t))]3/2 = a/[2a3 sen3(t/2)] (g) Cardioide parametrizada por ~r(t) = (2a cos(t)− a cos(2t), 2a sen(t)− a sen(2t)), t ∈ [0, 2π]: Nesse caso, x(t) = 2a cos(t) - a cos(2t) e y(t) = 2a sen(t) - a sen(2t), então podemos calcular as derivadas: x′(t) = -2a sen(t) + 2a sen(2t) y′(t) = 2a cos(t) - 2a cos(2t) x′′(t) = -2a cos(t) + 4a cos(2t) y′′(t) = -2a sen(t) + 4a sen(2t) Substituindo na fórmula de curvatura, obtemos: κ(t) = |x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)|/[(x′(t))2 + (y′(t))2]3/2 = 3a/[4a2 + 4a2 - 4a2 cos(t) - 4a2 cos(2t) + a2 cos2(t) + a2 cos2(2t) + 4a2 sen2(t) + 4a2 sen2(2t) - 4a2 cos(t) cos(2t) + 4a2 sen(t) sen(2t)]3/2 = 3a/[16a4 - 8a3 (cos(t) + cos(2t)) + 2a2 (3cos2(t) + cos2(2t) + 4sen2(t) + 4sen2(2t) - 4cos(t) cos(2t) + 2sen(t) sen(2t))]3/2