(Uel) A função dada por f(x) = (tg x) . (cotg x) está definida se, e somente se, a) x é um número real qualquer. b) x · 2k™, onde k Æ Z c) x · k™...

A alternativa correta é a letra B) x · 2kπ, onde k ∈ Z. Para que a função f(x) = (tg x) . (cotg x) esteja definida, é necessário que o tangente de x e o cotangente de x sejam diferentes de zero. Sabemos que o tangente de x é igual a zero quando x é um múltiplo de π, ou seja, x = kπ, onde k ∈ Z. Já o cotangente de x é igual a zero quando x é um múltiplo de π/2, ou seja, x = kπ/2, onde k ∈ Z. Portanto, para que a função f(x) esteja definida, é necessário que x não seja um múltiplo de π/2 e que x seja diferente de kπ + π/2, onde k ∈ Z. Podemos reescrever essa condição como x ≠ kπ/2 + nπ, onde n ∈ Z. Além disso, como o tangente e o cotangente são funções periódicas com período π, podemos escrever x = kπ + t, onde 0 ≤ t < π. Substituindo essa expressão na condição anterior, temos: kπ + t ≠ nπ/2 + kπ t ≠ (n/2 - k)π Isso significa que t deve ser diferente de um múltiplo de π/2. Podemos escrever isso como t ≠ mπ/2, onde m ∈ Z. Portanto, a condição para que a função f(x) esteja definida é x = kπ + t, onde 0 ≤ t < π e t ≠ mπ/2, onde k, m ∈ Z. Podemos reescrever essa condição como x = 2kπ + t, onde k ∈ Z. Assim, a alternativa correta é a letra B) x · 2kπ, onde k ∈ Z.